Зачем люди придумали комплексные числа ?

История развития комплексных чисел и их роль в науке и технике
Понадобился гений Эйлера, чтобы признать мнимые числа настоящими числами и распространить вычисление с этими числами на все разделы математики. Именно Эйлеру и принадлежит гениальная догадка о том, что комплексные числа являются алгебраически замкнутыми относительно всех алгебраических операций. То есть не существует таких алгебраических операций над комплексными числами, которые невозможно было бы сделать не выходя за рамки комплексных чисел.
https://articlekz.com/article/13193

Удобно в расчетах, например, распространения волн.
Есть еще более интересные числа - кватернионы, там кроме действительной части есть три мнимых единицы. Кватернионами, например, очень хорошо описываются повороты в трехмерном пространстве, поэтому их используют для расчетов навигации в авиации и космосе, а также - в компьютерных играх.

один древний "прораб" задумался.... как учитывать реально проделанную работу и приписанную... вот так и повелось...

Нужны во многих технических
областях для расчетов.
например в электротехнике
для цепей переменногго тока.

Они все время были. Умные математики их открыли.

Поле R имеет недостаток - в нем не каждый многочлен имеет корни. Поле С решает эту проблему. А ведь надо всего-навсего добавить к R элемент i , положив i*i=-1, и натянуть на все это линейную оболочку.

Чтобы извлекать корни из отрицательных чисел

Придумали-то из-за ерунды - из-за casus irreducible, видимо. Впрочем, "зачем придумали" и "зачем они нужны" - это очень разные вопросы.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число#История
https://ru.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis

Впервые они вылезли в явном виде при решении кубических уравнений, где в промежуточных результатах обязательно вылезает число, квадрат которого равен отрицательному числу, притом, что у уравнения есть хотя бы один действительный корень: при этом, в случае квадратных уравнений такого наглядного противоречия не возникает и там уравнениями с отрицательным дисриминантом просто пренебрегали, так как у уравнений с отрицательным дискриминантом нет и действительных корней.

Позже выяснилось, что с комплексными числами удобно работать везде, где есть пара независимых чисел (в то время, как целые и рациональные обозначают упорядоченную пару — кортеж) . Комплексными числами удобно записывать много что — от квантовой механики и магнитодинамики до электротехники и 2D графики.