Математика. Задача 1 курса. Номер 6.11

Итак, имеем функцию: z = 4x² + 9y² - 4x - 6y + 3, точку А(1; 0) и вектор a = 5i - j₁
1) Найдём частные производные:
∂z/∂x = 8x - 4; ∂z/∂x (A) = 4
∂z/∂y = 18y - 6; ∂z/∂y (A) = -6
Отсюда:
grad z(A) = 4i - 6j

2) Производную функции по направлению вектора a можно найти как скалярное произведение градиента и нормированного вектора:
∂z/∂a = (grad z, a₁), где a₁ = a/|a|
a₁ = (5/√26)i - (1/√26)j
∂z/∂a (A) = 4*5/√26 + (-6)*(-1)*/√26 = 20/√26 + 6/√26 = 26/√26;
∂z/∂a (A) = √26

3) Чтобы найти экстремум функции z, найдём стационарные точки, для чего приравняем нулю частные производные:
8x - 4 = 0
18y - 6 = 0
Отсюда x(M) = 1/2; y(M) = 1/3
Чтобы выяснить, есть ли экстремум в этой точке, найдём вторые частные производные:
B = ∂²z/∂x² = 8;
C = ∂²z/∂x∂y = 0
D = ∂²z/∂y² = 18
И определим знак BD - C² = 8*18 - 0 > 0. Значит экстремум есть. Причём В > 0, значит это точка минимума. Найдём значение функции в этой точке:
z(1/2; 1/3) = 1 + 1 - 2 - 2 + 3 = 1
Можно и другим способом, элементарным. Выделим в функции полные квадраты:
z = 4x² + 9y² - 4x - 6y + 3 = 4x² - 4x + 1 + 9y² - 6y + 1 + 1 = (2x - 1)² + (3y - 1)² + 1
Отсюда видно, что функция принимает минимальное значение, равное 1, в точке (1/2; 1/3)
Итак, экстремум функции равен 1, это минимум.