Математика 1 курс (10-11 класс)

1.a) D(f) = (-inf; +inf)
Функция непрерывна на D(f) и не имеет ни асимптот, ни точек разрыва

Производная f'(x) = 3^x * ln(3)
f'(x) никогда не равна нулю, к тому же строго положительна, значит функция строго возрастает, а значит локальных экстремумов у функции не существует

Вторая производная f''(x) = 3^x * ln^2(3)
f''(x) никогда не равна нулю, к тому же строго положительна, значит функция выпукла вниз на D(f)

Проверим f(x) = f(-x) и f(x) = -f(x)
3^x - 3 != 3^(-x) - 3
3^x - 3 != -3^x + 3
Функция ни чётна, ни нечётна
Функция не имеет периода
3^x - 3 = 0
3^x = 3
x = 1
Функция пересекает ось OX в точке x = 1
E(f) = (-inf; +inf)

1.б)
По свойствам логарифма:
x - 2 > 0
x > 2
D(f) = (2; +inf)
Функция непрерывна, не имеет точек разрыва и асимптот на D(f)
Из тех же свойств логарифма имеем E(f) = (-inf; +inf)
Производная f'(x) = -1/(ln(4) * x - 2*ln(4))
Знаменатель никогда не равен нулю, а также f'(x) всегда отрицательна
Значит функция убывает на D(f)

Вторая производная f''(x) = 1/(ln^2(4)*x^2 - 4*ln(4)*x + 4*ln(4))
f''(x) всегда положительна ( надо помнить, что x > 2 ), значит f(x) выпукла вниз на D(f)
Очевидно, что функция ни чётна, ни нечётна ( см. пред. пункт ), не периодична.

Решим уравнение log(1/4, (x-2)) = 0
log(1/4, (x-2)) = log(1/4, 1)
x - 2 = 1
x = 3

f(x) пересекает ось OX в точке x = 3

так это 1 курс или 10-11 класс?

Функция определена на интервале:
[ -5 ; 4 ]
Интервалы возрастания:
( - 5; -1) и ( 2; 4)
Интервал убывания:
( -1 ; 2)
Точка максимума: (-1; 4)
Точка минимума: (2; - 1,5)