Поомгите пж с математикой

Мы начинаем с рассмотрения уравнений вида

ax2 + bx + c = 0. (1)

Если a 6= 0, то уравнение (1) является квадратным. Не забываем, однако, что параметр a

«никому ничем не обязан» и может равняться нулю (и тогда уравнение перестаёт быть квадратным). Случай a = 0 при необходимости следует рассматривать отдельно.

Напомним известные вам факты теории. Пусть уравнение (1) является квадратным, то есть

a 6= 0. Тогда дискриминант этого уравнения есть величина D = b

2−4ac. Возможны три случая.

1. Если D > 0, то уравнение (1) имеет ровно два различных корня:

x1,2 =

−b ±

√

D

2a

.

2. Если D = 0, то уравнение (1) имеет единственный корень

x = −

b

2a

.

3. Если D < 0, то уравнение (1) не имеет корней.

Для квадратного уравнения вида

ax2 + 2kx + b = 0

удобно использовать дискриминант

D1 =

D

4

= k

2 − ac.

Тогда формула корней выглядит так:

x1,2 =

−k ±

√

D1

a

.

Если уравнение (1) имеет два различных корня x1 и x2, то его левая часть раскладывается

на множители следующим образом:

ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2).

Если уравнение (1) имеет единственный корень x0, то его левая часть является полным

квадратом:

ax2 + bx + c = a(x − x0)

2

.

Теорема Виета. Если квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два различных корня x1

и x2, то справедливы формулы:







x1 + x2 = −

b

a

,

x1x2 =

c

a

.

1

Эти же формулы имеют место и в случае единственного корня x1, если положить x2 = x1.

Задача 1. («Покори Воробьёвы горы!», 2014, 10–11 ) Определите, сколько существует различных значений a, при которых уравнение


1 − a

2




x

2 + ax + 1 = 0

имеет единственное решение.

Решение. Эта простая задача отборочного тура содержит маленький подвох: надо не забыть

рассмотреть отдельно значения a = ±1, при которых уравнение окажется не квадратным, а

линейным. Так, при a = 1 уравнение принимает вид x + 1 = 0 и имеет единственный корень

x = −1; аналогично, при a = −1 уравнение имеет единственный корень x = 1.

Если же a 6= ±1, то наше уравнение — квадратное с дискриминантом

D = a

2 − 4(1 − a

2

) = 5a

2 − 4.

Корень будет единственным в том и только в том случае, если D = 0, то есть при a = ±2/

√

5.

Всего, стало быть, получается четыре значения a.

Ответ: Четыре.

Задача 2. При всех a решить уравнение x

2 + ax + 9 = 0.

Решение. Находим дискриминант:

D = a

2 − 36 = (a − 6)(a + 6).

Методом интервалов определяем знаки дискриминанта:

X

+ − +

−6 6

Соответственно, рассматриваем следующие случаи. Если a < −6 или a > 6, то уравнение

имеет два корня:

x =

−a ±

√

a

2 − 36

2

. (2)

Если a = −6, то корень один, и он легко получается из формулы (2): x = 3. Аналогично,

если a = 6, то x = −3. Наконец, если −6 < a < 6, то уравнение не имеет решений.

Ответ: Если a ∈ (−∞; −6) ∪ (6; +∞), то x =

−a±

√

a

2−36

2

; если a = −6, то x = 3; если a = 6, то

x = −3; если a ∈ (−6; 6), то решений нет.

Можно дать ответ в более сжатом виде, если «пристыковать» случаи a = ±6 к первому

случаю.

Ответ: Если a ∈ (−∞; −6] ∪ [6; +∞), то x =

−a±

√

a

2−36

2

; если a ∈ (−6; 6), то решений нет.

В каком именно виде записывать ответ — дело вашего вкуса. Мы обычно будем предпочитать

второй вариант.

Задача 3. При всех a решить уравнение ax2 + x + 1 = 0.

Решение. Здесь тоже хочется сразу написать дискриминант, но давайте всё же заметим, что

возможно a = 0, и тогда уравнение не будет квадратным (так что ни о каком дискриминанте

говорить не придётся). Этот случай надо рассмотреть отдельно.

Пусть a = 0. Тогда уравнение примет вид x + 1 = 0, откуда x = −1.

40cos6x - 9sin6x = a
√(40²+(-9)²)•(sin(φ)•cos6x+cos(φ)•sin6x) = a
√1681•sin(φ+6x)=41sin(φ+6x)=a, где φ=arctg(-40/9)
Так как синус по модулю не может быть больше единицы, то минимальное а, при котором уравнение имеет решения, -41.