Философский смысл одного предела

Концепция пределов в математике является фундаментальным инструментом для понимания и анализа поведения функций и последовательностей. Идея заключается в том, что по мере того, как входное значение функции или индекс последовательности приближается к определенному значению, выходное значение или член последовательности стремится к определенному числу.

Определение пределов, как оно обычно представляется, предполагает, что существует уникальный предел для любой данной функции или последовательности. Это связано с тем, что определение предела основано на идее сходимости, когда функция или последовательность становится произвольно близкой к определенному значению по мере приближения входных данных или индекса к определенному значению. Если бы существовало несколько ограничений, это означало бы, что функция или последовательность могут быть сколь угодно близки к нескольким различным значениям, что было бы противоречиво.

Философский смысл этой идеи заключается в том, что она отражает основополагающую идею порядка и предсказуемости в математике. Предполагая, что существует только одно ограничение для функции или последовательности, это позволяет нам делать прогнозы о поведении функции или последовательности на основе входных данных или индекса. Эта идея дополнительно подкрепляется концепцией непрерывности, которая гласит, что функция непрерывна в точке, если ее предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке.

Однако важно отметить, что бывают случаи, когда функция или последовательность могут иметь разные ограничения в зависимости от подхода к ней. Например, функция может иметь разные пределы в точке в зависимости от направления, с которого к ней приближаются, или последовательность может иметь разные пределы в зависимости от того, приближается ли она слева или справа. Эти случаи известны как односторонние пределы, и они являются более обобщенным понятием пределов.

Таким образом, предположение, что существует только один предел для функции или последовательности, является математическим инструментом, который позволяет нам делать прогнозы и понимать поведение функции или последовательности, это отражает основную идею порядка и предсказуемости в математике, а также это способ упростить и обобщить концепцию пределов..

Смысл элементарный - это удобно! Теперь расшифрую.

Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если для всяких двух различных точек в нем существуют непересекающиеся окрестности этих точек.
Есть такая простенькая теоремка.
В топологическом пространстве всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел <=> пространство - хаусдорфово.
Т.е. для нехаусдорфова пространства легко построить пример последовательности, которая имеет хотя бы два предела.
Многие встречающиеся на практике топологические пространства являются хаусдорфовыми, в смысле хаусдорфовости они похожи на R.

Всяко разные неудобные пространства в функане принято чинить до удобных - для этого есть процедуры пополнения, факторизации и т.п., и нехаусдорфово пространство тоже можно попробовать склеить по парам точек, на которых хаусдорфовость нарушается. Кто ж запрещает? Математики себе не враги, как удобно, так и поступают.