Как найти предел ?

Функция 1/(cos^2(x) + 1) интегрируется стандартно (например, через универсальную тригонометрическую подстановку), посему позволю проинтегрировать ее на компе и заявлю, что интеграл от нее на промежутке [0, pi] равен pi/sqrt(2), среднее значение равно, соответсвенно, 1/sqrt(2).

Далее, нам нужна такая лемма.
Пусть f(x) - липшицева, g(x) - измеримая периодическая с периодом T.
Тогда lim (при n->inf) int f(x)g(nx) dx от 0 до T
= (int f(x)dx от 0 до T) * (1/T)(int g(x)dx от 0 до T)
Т.е. среднее значение g можно из-под предела выносить.
Интеграл от f(x) = sin(x) даст двойку, остальное - это 1/sqrt(2), ответ, соответственно, sqrt(2).

Над доказательством леммы "покрасивее" подумаю - или через теорему Леви как-нибдуь исхитрюсь, или еще как.
Есть, кстати, какие-то стандартные теоремки для интегрирования произведений, в котором один из множителей периодичен. Из головы вылетели они. Они, кажись, через несобственные интегралы первого рода формулировались, но маштабирование - дело техники.

Предел вроде √2 получается. А как его найти - не знаю. Мне дух Леонарда Эйлера значение этого предела подсказал...

а ты мне обещал бутылку

Я, кстати, армянский коньяк пью

Беня, заканчивай кошмарить народ, я уже трое суток думаю над твоим неравенством (это моя любимая тема, ты знаешь), я доказал его для большого множества чисел , но не для любых. А это никто , кроме меня не решит, а я пьян

Беня, поговори со мной, я бухаю и мне не с кем поговорить, ну не с женой же, давно надоела