Помогите решить задачу по комбинаторике, пожалуйста.

При нечётных n.

Действительно, если n нечетно, то все комбинации из n слагаемых можно разбить по парам по принципу "зеркала": комбинации из {х_i} ставится в соответствие {101 - х_i}. Так как n нечетно, комбинация не может быть сама себе зеркальная, и в паре суммы будут разной четности. Значит, четность и нечетность суммы равновероятны.

Теперь пусть n четно. Рассмотрим функцию f(k,n) - разность между количеством чётных и нечётных сумм n слагаемых из диапазона {1,...,k} для четного k . Верна рекуррентная формула:
f(k,n) = f(k-2,n) - f(k-2,n-2).
Действительно, все комбинации n слагаемых разбиваются на группы:
1) входит ровно одно из {k-1, k}. В этой группе они разбиваются попарно, и чётных и нечётных сумм поровну.
2) не входит ни одно из {k-1, k} . Тогда это все равно что выбирать n слагаемых из {1,..,k-2}, в этой группе разность чёт и нечет равна f(k-2,n).
3) входят оба числа k-1, k. Тогда это все равно что выбирать n-2 слагаемых из {1,..,k-2}, в этой группе разность чёт и нечет равна -f(k-2,n-2), минус берется, так как сумма k-1+k нечетна и меняет знак разности.

Данная рекуррентная формула похожа на формулу для треугольника Паскаля и ее решение суть:
f(k,n) = C(k/2, n/2) * (-1)^(n/2). (Покажи сам по индукции).

Стало быть, для всех пар (k,n), в частности для k=100, чётных и нечётных сумм будет НЕ поровну.

Ой-ой, эта задача намного страшнее последней)

Извините, я хотела в комментарий к решению Павли написать, а по ошибке написала в ответ...(