Помогите решить задачу по комбинаторике, пожалуйста.

Ясное дело, что если враг друга есть враг, то отношение дружбы обладает транзитивностью (это легко показать от противного). Стало быть, отношение дружбы является отношением эквивалентности, то есть множество людей разбивается на классы, внутри которых все со всеми дружат. Иными словами, граф дружбы есть объединение нескольких полных графов. Объяснить это можно так. Рассмотрим человека А и множество М всех его друзей. Из условия следует, чтт любые двое из М дружат между собой. Стало, быть, А + М образуют полный граф из N-6 вершин.
Осталось перебрать те N, для которых N-6 является делителем N.
Ответ: N = 7, 8, 9, 12.

Давайте рассмотрим данную задачу и проанализируем условия.

У нас есть N человек, и каждый человек имеет шесть врагов. Если двое людей являются друзьями, то их враги становятся врагами друг друга. Давайте рассмотрим, каким образом враги связаны в этой ситуации.

Предположим, что у нас есть два человека, A и B, которые являются друзьями. У каждого из них есть шесть врагов, но враги A не могут быть врагами B и наоборот. Это означает, что у каждого из них должно быть по крайней мере шесть врагов, которые не являются врагами друг друга.

Теперь давайте рассмотрим другой случай, когда у нас есть три человека, A, B и C. Предположим, что A и B являются друзьями, и у каждого из них есть по шесть врагов. Однако, в этом случае C не может быть врагом ни A, ни B. Потому что, если C был бы врагом A или B, то враги A и B стали бы врагами друг друга, что противоречит условиям задачи.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что в случае, когда у нас есть N человек, такое возможно только тогда, когда N может быть представлено в виде N = 2k или N = 3k, где k - натуральное число.

Теперь рассмотрим, почему это единственные возможные варианты.

Предположим, что у нас есть N человек, и N не может быть представлено в виде N = 2k или N = 3k. Рассмотрим случай, когда N имеет остаток 1 при делении на 2 или 3.

Если N = 2k + 1, то мы можем разделить N людей на две группы: одна группа из k человек и один человек в отдельности. Рассмотрим этого отдельного человека. У него должно быть шесть врагов, которые не являются врагами друг друга. Однако, у нас есть только k человек в другой группе, и каждый из них уже имеет шесть врагов. Таким образом, невозможно удовлетворить условиям задачи, и N = 2k + 1 не является возможным

вариантом.

Аналогично, если N = 3k + 1 или N = 3k + 2, мы можем разделить N людей на группы таким образом, что останется один человек без группы или два человека без группы. В обоих случаях мы сталкиваемся с тем же противоречием, как и в случае N = 2k + 1.

Таким образом, мы приходим к выводу, что единственные возможные варианты для N, при которых условия задачи могут быть выполнены, это N = 2k или N = 3k, где k - натуральное число.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть ещё вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.

Пусть утверждение верно для N = 2k, то есть среди 2k человек каждые двое - либо друзья, либо враги, и у каждого из них ровно шесть врагов, причём враги его друзей являются его врагами.

Необходимо показать, что утверждение верно и для N = 2k + 1.

Рассмотрим произвольного человека A. У него ровно 2k друзей и 2k врагов. При этом у каждого друга человека A также по 2k друзей и 2k врагов, среди которых обязательно есть A и его оставшиеся 2k - 1 друзья. Значит, у каждого друга человека A ровно 2k - 1 врагов среди оставшихся 2k - 1 человек, которые не являются его друзьями. Следовательно, у человека A могут быть врагами только те, кто не является его другом или другом его друзей.

Так как всего среди этих 2k + 1 человек должно быть 2k друзей и 2k врагов для каждого, то у каждого из 2k человек, не являющихся другом A, должно быть ровно k врагов (иначе общее число врагов будет больше 2k^2). Остаётся k человек, которые являются друзьями A. Каждый из них имеет k друзей и k врагов среди оставшихся 2k - 1 человек, которые не являются их друзьями. Значит, у каждого из этих k человек может быть не более k + 1 врага (иначе общее число врагов будет больше 2k^2).

Таким образом, для N = 2k + 1 возможным является только то значение k, при котором выполнены условия:

всего должно быть 2k + 1 человек;
у каждого человека ровно 2k друзей и 2k врагов;
у каждого друга человека A ровно 2k - 1 врагов среди оставшихся 2k - 1 человек, которые не являются его друзьями;
у каждого из оставшихся 2k человек должно быть ровно k врагов;
у каждого из k друзей A может быть не более k + 1 врага.
Таким образом, возможным является только одно значение k - 3.

Итак, ответ: такое возможно только для N = 7.

Так значит смотри Саня, сейчас я прихожу к тебе и мы вместе с тобой решаем вопросы трения при скоростной любви