ПОМОГИТЕ С КОНТРОЛЬНОЙ

Хорошо, я помогу вам решить эти задачи. Давайте начнем с первой задачи.

№1. Найдите критические точки функции f(x) = x^3 + 9x^2 + 5.

Для того чтобы найти критические точки, нам нужно взять производную функции f'(x) и приравнять ее к нулю.

f(x) = x^3 + 9x^2 + 5 f'(x) = 3x^2 + 18x

Теперь приравняем f'(x) к нулю и решим уравнение:

3x^2 + 18x = 0 x(3x + 18) = 0

Отсюда получаем две критические точки:

x1 = 0 x2 = -6

№2. Исследуйте функцию и постройте график функции f(x) = x^4 - 2x^2 + 3.

Производные:

f'(x) = 4x^3 - 4x f''(x) = 12x^2 - 4

Теперь найдем критические точки:

f'(x) = 0 4x^3 - 4x = 0 4x(x^2 - 1) = 0

x1 = 0 x2 = 1 x3 = -1

Теперь проверим вторую производную:

f''(0) = -4 (точка максимума) f''(1) = 8 (точка минимума) f''(-1) = 8 (точка минимума)

График можно построить с помощью различных графических программ, таких как Desmos, GeoGebra и т.д.

№3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x.

Производная:

f'(x) = 6x^2 - 30x + 36

Приравняем f'(x) к нулю:

6x^2 - 30x + 36 = 0 x^2 - 5x + 6 = 0 (x - 2)(x - 3) = 0

x1 = 2 x2 = 3

Теперь найдем вторую производную:

f''(x) = 12x - 30

f''(2) = -6 (точка максимума) f''(3) = 6 (точка минимума)

Таким образом, функция возрастает на промежутках (-∞, 2) и (3, +∞) и убывает на промежутке (2, 3). Точка максимума: x = 2, точка минимума: x = 3.

0 - это лучше, чем "-1".

1. Найдем производную функции: f'(x) = 3x^2 + 18x.
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x^2 + 18x = 0
3x(x + 6) = 0
x1 = 0, x2 = -6
Таким образом, критические точки функции f(x) равны x1 = 0 и x2 = -6.

2. Найдем производную функции: f'(x) = 4x^3 - 4x.
Чтобы исследовать функцию, найдем ее точки экстремума и промежутки возрастания/убывания:
f'(x) = 0
4x(x^2 - 1) = 0
x1 = 0, x2 = -1, x3 = 1
Точки экстремума: x1 = 0 (минимум), x2 = -1 (максимум), x3 = 1 (минимум).
Промежутки возрастания: (-∞, -1) и (1, +∞).
Промежутки убывания: (-1, 0) и (0, 1).

3. Найдем производную функции: f'(x) = 6x^2 - 30x + 36.
Чтобы найти промежутки возрастания/убывания и точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
6x^2 - 30x + 36 = 0
x^2 - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0
x1 = 2, x2 = 3
Таким образом, точки экстремума функции f(x) равны x1 = 2 и x2 = 3.
Промежутки возрастания: (-∞, 2) и (3, +∞).
Промежутки убывания: (2, 3).
Минимум функции достигается в точке x1 = 2, его значение равно f(2) = -12.