Помогите решить задачи по высшей математике

1. Данное тело - эллипсоид. Начертите, пожалуйста.

Сечение плоскостью z=z₀ - эллипс

х²/(2- z₀) + y²/¼(2-z₀)=1

Площадь этого эллипса равна S= π(2-z₀)/2

Объем тела:

V= ∫[0;2] π(2-z)/2 dz = ...= π


2. Вращение вокруг оси 0x. Ознакомьтесь с формулой вычисления объёма тела вращения. Начертите данную кривую. Тогда увидите, что


V= π(∫[0;1] (9²-(1+8x³)²) dx = ...= (468/7)π

1) Для вычисления объема тела, заданного уравнениями z=2-x^2-4y^2 и z=0, необходимо найти площадь поперечного сечения и интегрировать ее по z от 0 до 2-x^2-4y^2.

Площадь поперечного сечения можно найти, решив уравнение z=2-x^2-4y^2 относительно y:

2-x^2-4y^2 = 0
4y^2 = 2-x^2
y^2 = (2-x^2)/4
y = ±sqrt((2-x^2)/4)

Таким образом, площадь поперечного сечения будет равна двукратному интегралу от sqrt((2-x^2)/4) до -sqrt((2-x^2)/4) по x от -1 до 1:

S = 2∫[-1,1] ∫[sqrt((2-x^2)/4), -sqrt((2-x^2)/4)] dy dx

Вычислив этот интеграл, получим площадь поперечного сечения.

Затем, объем тела можно вычислить, интегрируя площадь поперечного сечения по z от 0 до 2-x^2-4y^2:

V = ∫[0, 2-x^2-4y^2] S dz

Вычислив этот интеграл, получим объем тела.

2) Для вычисления объема тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, заданной линиями y=1+8x^3, x=0 и y=9, необходимо использовать метод цилиндров.

Сначала найдем точки пересечения линий y=1+8x^3 и y=9:

1+8x^3 = 9
8x^3 = 8
x^3 = 1
x = 1

Таким образом, фигура ограничена прямыми x=0, x=1 и y=1+8x^3, y=9.

Для вычисления объема тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси, необходимо вычислить объем каждого цилиндра, образованного поперечным сечением фигуры и слоем толщиной dz.

Площадь поперечного сечения можно найти как разность площадей двух кривых:

A = π(R^2 - r^2),

где R - радиус наружной кривой (y=9), r - радиус внутренней кривой (y=1+8x^3).

Радиус наружной кривой R равен 9, а радиус внутренней кривой r равен 1+8x^3.

Таким образом, площадь поперечного сечения будет зависеть от z и равна:

A = π(9^2 - (1+8x^3)^2).

Объем каждого цилиндра можно вычислить как произведение площади поперечного сечения на толщину слоя dz:

V = ∫[0, h] A dz,

где h - высота фигуры, равная разности y=9 и y=1+8x^3.

Вычислив этот интеграл, получим объем тела.