Можно ли переставлять множители между частями сравнения?

может вы свои ИИ напрямую друг с другом поставите поговорить...

Нет, нельзя переставлять множители между частями сравнения.

Утверждение, что выражения mn ≡ pq (mod k), m ≡ pqn (mod k), mnpq ≡ 1 (mod k) имеют идентичное значение, неверно.

Для того чтобы два выражения имели идентичное значение, они должны быть эквивалентны. Эквивалентность означает, что они имеют одинаковое значение для всех значений переменных.

В данном случае выражения mn ≡ pq (mod k) и m ≡ pqn (mod k) эквивалентны, если и только если n делится на k.

А выражение mnpq ≡ 1 (mod k) эквивалентно выражениям mn ≡ 1 (mod k) и pq ≡ 1 (mod k).

Таким образом, ни одно из трех выражений не эквивалентно всем остальным.

Примеры:

Если k = 3, то выражения mn ≡ pq (mod k) и m ≡ pqn (mod k) эквивалентны, если и только если n делится на 3. Например, 45 ≡ 15 (mod 3) и 4 ≡ 150 (mod 3).
Если k = 5, то выражения mn ≡ pq (mod k) и m ≡ pqn (mod k) не эквивалентны. Например, 25 ≡ 10 (mod 5) и 2 ≡ 100 (mod 5).
Если k = 7, то выражения mnpq ≡ 1 (mod k) и mn ≡ 1 (mod k) эквивалентны, но не эквивалентны выражению pq ≡ 1 (mod k). Например, 147 ≡ 1 (mod 7), но 14 ≡ 1 (mod 7) и 7 ≡ 1 (mod 7).