Можно ли только линейкой найти центр имеющейся окружности?

Нельзя

Если можно линейкой хотя бы отмерять равные отрезки (строим один отрезок, ставим на линейке насечку, строим второй отрезок - думаю, всё легко и понятно) , то можно и центр найти.
Строим произвольную хорду. Отмеряем одинаковые отрезки от обоих её концов (всё должно лежать на окружности) , проводим прямые - получаем равнобедренный треугольник. Его третью вершину обозначим A.
Теперь таким же макаром строим ещё один равнобедренный треугольник по другую сторону от хорды и его вершину обозначим B. Прямая AB будет перпендикулярной данной хорде и проходить через её центр; также эта прямая содержит в себе диаметр.
Если таким же способом построить ещё одну хорду и центральный перпендикуляр, на их пересечении будет центр.

Вряд ли. Если бы иметь средство для построения прямого угла, то пожалйста.

Пересекаем окружноть произвольной прямой, получаем хорду AB, через точку B проводим прямую перпендикулярную первой, получаем хорду BC.
Вписанный прямой угол опирается на диаметр (это следствие из одной теоремы) . Поэтому AC - это диаметр окружности.
Повторяем эти опрации с другими прямыми, получаем другой диаметр.
Точка пересечения диаметров есть центр.

Доказать, что нельзя обойти лишь линейкой я не могу.

если не ошибаюсь точнее всего найти циркулем

Метод инженерский

1. Поставить точку на окружности
2. От этой точки построить отрезок максимальной длинны, чтобы он заканчивался на окружности.
3. Поделить его пополам.

Погрешность метода зависит от погрешности линейки (и явно одного порядка с нахождением при помощи угольника и линейки. )

ДА
1 - провести касательную к этой окружности
2 - с помощью прямого угла провести прямую, которая пройдёт через предполагаемый центр
3 - повторить первые две операции
4 - точка пересечения перпендикуляров и будет центром окружности...

Если известен радиус окружности, то из двух любых точек окружности сделай пару засечек. На их пересечении будет центр.