Почему при полете на Луну космическим кораблям нужно сделать сначала оборот вокруг Земли?

ну не прям "нужно", а крайне желательно
просто используя момент импульса вращения Земли можно разогнаться до нужной скорости потратив в десятки раз меньше топлива
в смысле чтобы преодолеть гравитационное притяжение Земли, кораблю надо набрать вторую космическую скорость, а если для этого использовать те же естественные гравитационные силы сделав виток вокруг Земли, то расходы топлива получаются несоизмеримо меньше, чем если бы ракета сразу пыталась набрать эту скорость взлетев с Земли.
поэтому ракета на первой космической скорости выходит на орбиту, а затем на орбите корабль набирает нужную скорость, сходит с нее и летит к Луне.

Начальная орбита корабля (вокруг Земли) - эллиптическая. А на такой орбите скорость на разных участках разная (один из законов Кеплера) : чем ближе к Земле - тем скорость выше. Поэтому корабль выводится на такую эллиптическую орбиту, причём не в самую низкую её точку, а куда-то посередине. И потом он по этой орбите СНИЖАЕТСЯ, набирая скорость. Вот эта дополнительная скорость потом и используется для разгона до второй космической.

Просто в это время можно сделать "передышку" и осуществить проверку всех систем, а случае чего и возвратиться. Возвратиться с траектории полета к Луне гораздо сложнее, аварийному Apollo-13 пришлось для возвращения на Землю после аварии все равно продолжать лететь к Луне и обогнуть ее, так им не пришлось тормозить и набирать заново обратную скорость, зато на обратном пути они считали часы и минуты - кончался кислород, кончалась электроэнергия, из корабля вбок била струя газа...

Разогнаться до 2 космической скорости...

Экономно разогнаться.

Для разгона, используя скорость вращения земли.

Это делается для того, чтобы по фактическим параметрам полета и заданным конечным условиям определить оптимальную траекторию и дать импульс для второй космической скорости и правильного направления на Луну. И не только на Луну.

К внешним планетам ( Юпитер, Сатурн и тд. ) летают через Солнце.. . Чтобы использоват гравитацию Солнца для ускорения и экономии топлива.

для передышки