что такое циклическая частота

Речь идёт о частоте вращения.
Обычная частота вращения измеряется в секундах в минус первой степени
но это так учат – на самом деле она измеряется в оборотах в секунду, просто в числителе единиц измерения не пишут слово обороты, а пишут только сек^(-1).
Циклическая частота равна обычную частоту умножить на 2П
где П = 3,141592… (это число Пи) .
Таким образом, учитывая, что 1 оборот = 2П радиан,
делаем вывод, что циклическая частота измеряется в радианах в секунду
или в рад/сек
или в рад*(сек^(-1))= рад*сек^(-1)
Однако преподаватели учат, что циклическая частота измеряется тоже в сек^(-1)
(в секундах в минус первой степени) –
И в циклической частоте в числителе ничего не пишут (не пишут радианы).

Угол в физике и в математике измеряют в радианах - так удобнее. При этом всякие выражения с тригонометрическими функциями намного проще, чем если выражать угол в целых оборотах или (не приведи господи) в градусах. Ну хотя бы потому, что решением базового дифференциального уравнения, из которого появляется синус, y" + k²y = 0, является как раз sin (kx). А не sin (2пи kx) или sin (2пи/360 kx). Вот поэтому и используется не частота просто (оборотов или полных периодов в секунду) , а угловая частота. Она же циклическая. Чисто чтоб проще математика процесса была.
Ну и поскольку от обычной частоты угловая отличается лишь постоянным безразмерным множителем, то и размерность что просто частоты, что угловой частоты одна и та же - 1/с.

Угловая скорость вращения вектора фазы колебаний.

Если f - частота линейная, то 2пf - циклическая, где п = 3,14...