Вероятность выпадения "орлов" и "решек" - 50%. Но вам не хватит жизни доказать это, потому что - не сойдется

будем на оси х откладывать количество бросков, а на оси у сумму выпадений орла и решки, при этом каждому выпадению орла будем приписывать значение +1, а решки -1. например после 9 бросков 5 раз выпадала решка и 4 раза орел, тогда х=9, у=-1. соеденим полученные точки ломанной, очевидно, что эта ломанная неизбежно пересечет ось х, что будет означать равенство суммы орлов и суммы решек. более того она будет пересекать ось х достаточно часто, ибо у не может не монотонно возрастать не монотонно убывать, а постоянно колеблется вблизи значения у=0. это означает, что ваше утверждение не верно.

а на ребро

ни фига! Вполне может хватить - иногда достаточно ДВУХ бросков!

Вероятность не 50 %, а 0.5. Поскольку по определению она меньше либо равна 1.
А про доказательство Марат Аминов неплохо написал.

Вот, что пишет об этом, например, Ю. В. Чайковский:
Если само блуждание устойчивым распределением не описывается, встает вопрос – как его описывать. Основную информацию дает исследование «точек возврата» (точек, в которых траектория блуждания пересекает ось абсцисс, т. е. , иными словами, моментов, когда доля гербов в точности равна 1/2). Точки возврата являют собой случайную величину, дискретное распределение которой задается формулой
z = p(r,2n) = 2^(— (2n — r)) C_(2n-r)^n
из которой видно – вероятность z того, что за время 2n траектория ровно r раз вернется к оси абсцисс, максимальна при r=o, r=1 и монотонно убывает при r>1 [Феллер, 1964, с. 97; Колмогоров и др. , 1982, с. 89]. Тем самым, самые вероятные исходы блужданий – с одним пересечением или без единого пересечения, так что случайная величина, описывающая число возвратов неограниченно долгого блуждания, имеет монотонно падающую однохвостую плотность. Характер убывания весьма различен по r и по n, что видно из асимптотической
формулы:
z≈(exp⁡((-rx^2)⁄(4π )))/√(π n)
Как видим, при данной длительности блуждания n вероятность иметь число возвратов r очень быстро убывает с ростом r, что и было отмечено в начале Введения: начавший проигрывать проигрывает с большой вероятностью и дальше. Казалось бы, вероятность z должна расти хотя бы с ростом длительности блуждания n, однако она при этом тоже убывает, пусть и очень медленно. И вот итог: «Чем продолжительнее серия бросаний, тем реже возвращения в нуль» [Феллер, 1964, c. 98].

Бессмысленно говорить о вероятности, не вводя вероятностное пространство, которое является чистой воды абстракцией и к жизни не имеет никакого отношения.