как доказать математически, что 1+1=2?

Просто в десятичной системе исчисления в пространстве вещественных чисел определена операция сложения. Эта операция удовлетворяет свойствам:
1. а + 1 = a'
2. a + b' = a' + b = (a + b)'
где a' обозначает натуральное число следующее за а.
Соответственно зная как по порядку идут числа в нашей системе исчисления и руководствуясь определением операции сложения, мы можем решить данный пример: )
З. Ы. Вообще мы можем определить любую операцию в каком-то пространстве (чисел или векторов) и ее использовать. Просто сложение мы часто используем и хорошо знаем. А если посмотреть на всю линейную алгебру с чуть большего расстояния, то станет понятно что все операции которые мы знаем это всего лишь правила по которым одни числа (векторы, множества и т. д. ) сопоставляются другим. Эти правила были придуманы для удобного описания мира. Но мы всегда можем придумать другие правила и попытаться описать мир по своему. Только надо понимать, что сам мир от этого не изменится. Кстати инопланетяне, если они есть, могли придумать свои правила действия с множествами или даже свои множества. И поэтому есть шанс что мы их никогда не поймем. Ой че-то я далеко от темы ушел:)

Это не надо доказывать - это следует из определения входящих в это выражение символов и операторов.

>^.^<

Это не докажешь, поскольку не задано основание системы счисления. В двоичной 1+1 = 10

На поле вещественных чисел заданы операции сложения и умножения для каждой пары чисел. Вы можете придумать свои математические объекты и составить для операций сложения и умножения над ними таблицу Кэли, однозначно определив эти операции для каждой пары объектов. Для натуральных чисел таблицей Кэли является таблица умножения. Таким образом введение понятия суммы над полем уже определяет результат этой операции для каждой пары чисел.

Вы что Галилей. ВАМ ЧТО ДОКАЗАТЬ, ЧТО Дважды два = четыре. Не надо м, пудрить.

на счетных палочках

ха-ха-ха. надо от 2-1=1