Почему гипотеза Пуанкаре такая сложная, что её даже дакен математического факультете не понимает?

А может декан не того?

Гипотеза Пуанкаре является одной из наиболее известных задач топологии. Она даёт достаточное условие того, что пространство является трёхмерной сферой с точностью до деформации.
В исходной форме гипотеза Пуанкаре утверждает, что:
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.
Обобщённая гипотеза Пуанкаре утверждает, что:
Для любого n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.
Исходная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n = 3.

Схема доказательства

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть, вложенное (0,1)*S^2), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию. Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией» .

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии M и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие M можно представить как набор сферических пространственных форм S3 / Γi, соединённых друг с другом трубками (0,1)*S^2. Подсчёт фундаментальной группы показывает, что M диффеоморфно связанной сумме набора пространственных форм S3 / Γi и более того все Γi тривиальны. Таким образом, M является связной суммой набора сфер, то есть, сферой.

Вот и всё. Ничего сложного. :))

"пространство является трёхмерной сферой с точностью до деформации"...
Коротко: ее суть в том, что при сохраняющем меру отображении пространства на себя почти каждая точка вернется в свою начальную окрестность.

Смысл теоремы Пуанкаре легко представить наглядно. Допустим, вы отправились из дома путешествовать и, в конце концов, вернулись домой. Если в дороге не встречались непреодолимые препятствия (высокие деревья, горы, болота) , которые вам не пришлось обходить, то путь домой на каждом шаге можно сократить, сведя все к одному шагу “домой и назад” :-) Препятствий и аномалий нет, то поверхность по которой мы ходим называют односвязанной, на ней любой путь можно упростить и свести к шагу “домой и назад”. На поверхности тора (бублика) так не получится, зайдя внутрь дырки и, вернувшись домой с другой стороны мы сделаем, круг, который с тора никак не снять – дорогу не сократить. Гомеоморфными называют поверхности, которые можно пластично преобразовать одну в другую. Пластилиновый куб можно перелепить в шарик, а из бублика сделать чашу (важно, чтобы осталась одна дырка, дырка в ручке) . Интуитивно понятно, что односвязанная поверхность гомеоморфна сфере, но доказательство пришлось искать многие годы, а чтобы признать теорему потребовалось четыре года.
Главное в этой истории, что доказательство “очевидной” теоремы может искаться долго. А зачем его искали – это уже другой вопрос.

У данной теоремы есть неожиданное следствие: оказывается, если в сосуде, разделенном перегородкой на два отсека, один из которых заполнен газом, а другой пуст, удалить перегородку, то через некоторое время все молекулы газа вновь соберутся в исходной части сосуда. Разгадка этого парадокса в том, что «некоторое время» имеет порядок миллиардов лет.