Объясните пожалуйста гипотезу Пуанкаре

"пространство является трёхмерной сферой с точностью до деформации"...
Коротко: ее суть в том, что при сохраняющем меру отображении пространства на себя почти каждая точка вернется в свою начальную окрестность.

Смысл теоремы Пуанкаре легко представить наглядно. Допустим, вы отправились из дома путешествовать и, в конце концов, вернулись домой. Если в дороге не встречались непреодолимые препятствия (высокие деревья, горы, болота) , которые вам не пришлось обходить, то путь домой на каждом шаге можно сократить, сведя все к одному шагу “домой и назад” :-) Препятствий и аномалий нет, то поверхность по которой мы ходим называют односвязанной, на ней любой путь можно упростить и свести к шагу “домой и назад”. На поверхности тора (бублика) так не получится, зайдя внутрь дырки и, вернувшись домой с другой стороны мы сделаем, круг, который с тора никак не снять – дорогу не сократить. Гомеоморфными называют поверхности, которые можно пластично преобразовать одну в другую. Пластилиновый куб можно перелепить в шарик, а из бублика сделать чашу (важно, чтобы осталась одна дырка, дырка в ручке) . Интуитивно понятно, что односвязанная поверхность гомеоморфна сфере, но доказательство пришлось искать многие годы, а чтобы признать теорему потребовалось четыре года.
Главное в этой истории, что доказательство “очевидной” теоремы может искаться долго. А зачем его искали – это уже другой вопрос.

У данной теоремы есть неожиданное следствие: оказывается, если в сосуде, разделенном перегородкой на два отсека, один из которых заполнен газом, а другой пуст, удалить перегородку, то через некоторое время все молекулы газа вновь соберутся в исходной части сосуда. Разгадка этого парадокса в том, что «некоторое время» имеет порядок миллиардов лет.

Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.
Понятие компактного множества/многообразия на пальцах не объяснишь

В Купчино (в Питере это последняя станция метро) подъедте.
Там Гриша Перельман всё очень доходчиво поясняет.

Все замкнутые поверхности одной размерности без дыр относятся к одному классу и их можно без разрывов плавно трансформировать в сферу.
Это верно и для многомерных пространств и соответственно многомерных поверхностей.

А доказать не надо?