какова природа дебройлевской длины волны

Оракул Cheery неточен. Цитирую:

"...Поскольку всем микрообъектам (по традиции за ними сохраняется термин «частица» ) присущи и корпускулярные, и волновые свойства, то, очевидно, любую из этих «частиц» нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании. "

Что такое "частица" в классическом понимании? Это объект, для которого можно написать динамичекое уравнение и однозначно указать всю последующую тракторию, если известны все условия опыта. Так вот, если поместить электрон, например, в электрическое поле между обкладками конденсатора, задав его точное начальное местоположение, то можно описать движение электрона классически и предсказать, куда именно он попадёт на положительной обкладке. В этом случае, мы можем не вспоминать о волновом дуализме, и, следовательно, электрон однозначно явлется "частицей", а не волной.

Тогда возникает вопрос -- когда же электрон проявляет себя как "волна". Другой опыт демонстрирует это. Если направить пучок электронов на флуоресцентный экран так, чтобы на пути этот пучок проходил через узкое отверстие, то на экране получится дифракционно-интерференционная картина, подобная той, какая получается при прохождении электромагнитной волны. Отсюда вытекает, что при нектоторых уловиях опыта электроны (много электронов! ) могут вести себя так, как ведёт себя "волна", т. е. единичный фотон. Но и в этом случае каждый электрон остаётся частицей, потому что он попадает в одну точку экрана, а "волна" попадает сразу во все точки. В этом принципиальное отличие электрона от фотона.

Однако, отличие электрона от классической частицы в этом опыте состоит в том, что невозможно указать для каждого отдельного электрона (из пучка) точное место попадания на экран исходя из динамического уравнения, а можно указть это место лишь с некоторой вероятностью. Эту вероятность и даёт квадрат амплитуды волновой функции, получаемой из решения уравнения Шредингера.

В заключение добавлю, что проявление корпускулярных свойств фотона тоже зависит от условий опыта. Когда мы принимаем радио- или телепередачи, на антенну приёмного устройства попадает электромагнитная волна, которая никак не проявляет корпускулярных свойств. А когда мы ставим опыт с фотоэффектом, то квант электромагнитной волны (фотон) ведёт себя как "частица", выбивая отдельно взятый электрон из атома образца, как если бы это была бомбардировка другим электроном. Такое же корпускулярное поведение наблюдается у фотона в процессе, носящем название эффекта Комптона -- это рассеяние фотона на свободном электроне. Уравнения сохранения импульса и энергии при таком столкновении записываются так, как если бы фотон был "частицей", но импульс и энергия выражениы через волновые параметры -- частоту и длину волны.

Последнее.
В 80-е годы прошлого (20-го! ) века был наконец поставлен безупречный опыт по установлению истинной природы фотонов. Результат однозначен -- волна.

Природа? Та же самая, что описывает и волновую функцию в уравнении Шредингера. .

В 1924 году французский физик Луи де Бройль высказал гипотезу о том, что установленный ранее для фотонов корпускулярно-волновой дуализм присущ всем частицам — электронам, протонам, атомам и так далее, причём количественные соотношения между волновыми и корпускулярными свойствами частиц те же, что и для фотонов. Таким образом, если частица имеет энергию E и импульс, абсолютное значение которого равно p, то с ней связана волна, частота которой f = E / h и длина волны λ = h / p. Эти волны и получили название волн де Бройля.

Подтвержденная на опыте идея де Бройля о двойственной природе микрочастиц — корпускулярно-волновом дуализме — принципиально изменила представления об облике микромира. Поскольку всем микрообъектам (по традиции за ними сохраняется термин «частица» ) присущи и корпускулярные, и волновые свойства, то, очевидно, любую из этих «частиц» нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании. Возникла потребность в такой теории, в которой волновые и корпускулярные свойства материи выступали бы не как исключающие, а как взаимно дополняющие друг друга. В основу такой теории — волновой, или квантовой, механики — и легла концепция де Бройля. Это отражается даже в названии «волновая функция» для величины, описывающей в этой теории состояние системы. Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность состояния системы, и поэтому о волнах де Бройля часто говорят как о волнах вероятности (точнее, амплитуд вероятности)