Существует ли функция, обратная квадратичной?

Здесь можно указать две обратные, на каждой области взаимной однозначности своя.

y = f(x) = 4 - (x + 1)² =>

x₁ = -1 - √(4 - y), x < -1
x₂ = -1 + √(4 - y), x > -1

Не существует.
Если бы обратная (обозначим через F) существовала, то f(-t) = t^2, а F(t^2) = -t, но в то же время f(t) = t^2, F(t^2) = t, так что F получается неоднозначной при t не равном 0. Если функция неоднозначная, то это уже не функция.

---

По поводу f(x) = 3 - 2x - x^2.
Поскольку обратные существуют только для инъективных, нужно определить, существуют ли такие различные x, что f(x) = одному и тому же числу. Другими словами, нужно понять, существуют ли такие q, что будут два РАЗЛИЧНЫХ корня уравнения
-x^2 - 2x + 3 = q.
Решаем уравнение -x^2 - 2x + 3 - q = 0
D = 4 + 4*(3-q) = 16 - 4q
x = (2 +- корень (16-4q)) / -2 = -1 +- корень (16-4q)
Видно, что два РАЗНЫХ корня ПОЛУЧАЮТСЯ (и это главное) при любом q < 4.
Стало быть, функция не инъективна и обратной не существует.

Ну, или проще говоря, найдутся такие q, что дискриминант ненулевой, и этого достаточно

А чем корень плох?