Будет ли множество иррациональных чисел полем?

нет.
Для поля операции над элементами поля (сложение и умножение) должны давать элементы того же поля. Ясное дело, чтол умножения корня из 2 самого на себя даст РАЦИОНАЛЬНОЕ число (2), то есть не принадлежащее этому полю.

Да, будет. Рациональное + рациональное = рациональное, рациональное * рациональное = рациональное. 1/рациональное число = рациональное число.
Удачи !

Ещё раз прочитал вопрос. Я говорил про поле рациональных чисел. Иррациональные - естественно, поля не образуют.

Относительно "обычных" операций сложения и умножения - никак нет (почему, объяснил Леонид) . Придётся придумывать другие полевые операции (а придумать их можно) , только тогда потеряется смысл слова "множество иррациональных чисел" и от него останется только понятие "множество мощности континуум".

P. S. В качестве лирического отступления, в истории математики часто "новые" множества образовывались как расширение существующих, но само "чистое расширение" без основного множества обычно нужными свойствами не обладает, как, например, множество "чисто комплексных" (где a+bi, b не равно 0) полем тоже не является. Тем более алгебраически замкнутым.

да безусловно

нет
Для поля операции над элементами поля (сложение и умножение) должны давать элементы того же поля. Ясное дело, что умножение корня из 2 самого на себя даст РАЦИОНАЛЬНОЕ число (2), то есть не принадлежащее этому полю.

Поможет тебе определение поля ответить на этот вопрос. Но КО мне подсказывает что нет