отображение взаимно однозначное соответствие между множествами иррациональных и вещественных чисел

обозначим R' - множество иррациональных чисел.
установим взаимно-однозначное соответствие между R' и R по следующему правилу:
1) все числа из R' кроме последовательности {п, 2п, 3п... } переходят сами в себя.
2) числам вида Nп из R соответствуют числа вида 2Nп из R'
3) числа вида (2N-1)п из R' переходят в рациональные числа из R (оба множества счетные, так что взаимно-однозначное соответствие есть)

короче, идея простая - если множества A и B отличаются на счетную последовательность, то вытаскиваем из "меньшего" множества какую-нибудь счетную последовательность и отображаем на неё объединение её самой и разницы (объединение конечного числа счетных множеств счётно).

А разве можно однозначно отобразить все вещественные числа на иррациональные? Наоборот - да, но тебе-то в обе стороны надо...

Ну то есть иррациональные числа - это R\Q. И вот этих самых Q тебе будет сильно не хватать, чтобы получить R.

Есть, впрочем, один трюк: сумма иррациональных чисел может быть рациональной. Например:

√2 - иррациональнoе
1-√2 - тоже
1-√2 + √2 = 1 - рациональнoе

Подумай над этим моментом, если получится доказать полноту такого отображения - все будет хорошо.

мозги свернешь

А разве можно однозначно отобразить все вещественные числа на иррациональные? Наоборот - да, но тебе-то в обе стороны надо...

Ну то есть иррациональные числа - это R\Q. И вот этих самых Q тебе будет сильно не хватать, чтобы получить R.

Есть, впрочем, один трюк: сумма иррациональных чисел может быть рациональной. Например:

√2 - иррациональнoе
1-√2 - тоже
1-√2 + √2 = 1 - рациональнoе