Олимпиадная задача по физике. Молекулярная физика и термодинамика.

А задача-то непростая как для школьного курса.
1. Уравнение II закона Ньютона в проекции на горизонтальное направление:
m*(d²x/dt²) = F1 - F2, (1)
где величина x выражает малое смещение поршня от положения равновесия, а величины F1, F2 - силы, обусловленные давлением газа по обе стороны от поршня при смещении последнего от положения равновесия:
F1 = p1*S, F2 = p2*S.

2. Применяя выражение для изотермического процесса:
p0*V0 = p1*V1 <=> p0*S*L = p1'*S*(L - x) => p1 = po*L/(L - x);
p0*V0 = p2*V2 <=> p0*S*L = p2*S*(L + x) => p2 = po*L/(L + x). (2)

3. При подстановке (2) в (1):
m*(d²x/dt²) = po*L*S*(1/(L - x) + 1/(L + x));
d²x/dt² + (po*L*S/m)*(1/(L - x) - 1/(L + x)) = 0. (3)

4. С учетом того, что x значительно меньше L, выражения 1/(L - x), 1/(L + x) можно упростить:
1/(L - x) = 1/L*(1 - x/L) ≈ (1/L)*(1 + x/L) = 1/L + x/L²;
1/(L + x) = 1/L*(1 + x/L) ≈ (1/L)*(1 - x/L) = 1/L - x/L².

5. В результате, выражение (3) примет вид:
d²x/dt² + (po*L*S/m)*(2*x/L²) = d² x/dt² + 2*po*S*x/L*m. (4)
Исходя из (4), частота малых колебаний поршня равна:
w = √(2*po*S/m*L).
Затем,
T = 2*П/w = 2*П*√(m*L/2*po*S). (5)

6. Выразив начальную длину L через объем Vo,
L = Vo/S,
выражение (5) можно переписать:
T = 2*П*√(m*Vo/2*S²*po).

123