Чему равно sinX/X, при учете того, что Х не стремится к 0?

Проверьте, там у Вас двойка лишняя в знаменателе в правой части не образовалась?

Вы рассуждаете совершенно верно и промахиваетесь только в том, что с построением касательной это не математический метод. Вполне математический, может только некоторые дополнительные приговоры требуются. Например, можно рассуждать так: понятно, что предельное отношение масс достигается, когда прямая, проведенная из начала координат, касается графика синуса. Пусть она его касается в точке X_0. Теперь переформулируем задачу. Рассмотрим уравнения касательных к sin(X) при X из интервала [\pi, 3\pi/2]. Вопрос: при каком наименьшем X касательная проходит через начало координат. Отсюда, например, находите X_0 и потом

\gamma = - sin(X_0)/X_0

(у меня не получилось двойки, но я мог и ошбиться) .

Только, конечно, все равно значение X_0 найти аналитически не получится (хотя поразмышлять в каких ситуациях, например, связанных с качением, такое же уравнение может возникать - очень полезно) . Относитесь к этому так, как если бы Вы имели дело с функцией, которую просто тяжело посчитать, ведь в конце концов уравнение всегда можно решить численно. А посчитать и просто синус тяжело, однако, мы больших чувств по этому поводу не испытываем.

В виде какой-то одной стандартной функции решения не будет. Нет стандартной функции sin(x)/x. Без тригонометрических функций решение находится или численными методами (бесконечными итерациями с приближением к результату) , или в виде ряда - берем широко известный ряд для sin(x) и каждый член его делим на x...Но sin(x) чрезвычайно распространенная функция, она и в любом языке программирования готовая есть, и в таблицах, так что никаких сложносткей я не вижу. Функция sin(x)/x и есть точное решение, дальше не упрощаемое, как и просто sin(x).