Естественные науки

Про пи и мат. софизмы

Пи=2, пи=4. Везде пишут что это математические софизмы. Но, собственно, полученная такими способами фигура в пределе удовлетворяет определению круга, как множества точек, равноудалённых от центра. . Так почему это софизм?

В свою очередь, если задать функцию f(x)=lim(k->∞,1-exp(-x*k)) в полярных координатах, то она тоже будет удовлетворять определению круга на участке (0,n) для любого n, а пи тогда выходит равным любому числу. .

Где ошибка?
Ербол Утегенов
Ербол Утегенов
19 278
в первом софизме неверно использовано понятие длины.
ЛВ
Леськв Василь
74 581
Лучший ответ
Ербол Утегенов Поторопился... до кучи дописал первый, там же вообще фигуры не делают новой >_< ладно, другие в силе :-)
Это не софизмы, просто вольное обращение с понятием предела.
Г. Шварц показал, что для площади цилиндра может быть получено вообще произвольное значение - в зависимости от того, каким образом строится предел.
Другой пример. Прямоугольный треугольник, опирающийся на гипотенузу длиной а. Заменим его двумя, четырьмя и так далее треугольниками - все более мелкими, но суммарно опирающимися на тот же отрезок а. Получается череда зубцов.
Если число зубьев устремить к бесконечности, то пилообразная линия будет сколь угодно близка к отрезку а. Но общая длина-то ее всегда постоянна, в корень из двух раз больше а, и ничуть не приближается к а!
Для разрешения этих "софизмов" в математике разработана теория меры. Которая и определяет такие вещи, как длины, площади - непротиворечиво.
Азамат Джумалиевич
Азамат Джумалиевич
67 565
Ербол Утегенов Извиняюсь за свой спорщицкий настрой :-) отрезок, построенный приближениями к гипотенузе, не удовлетворяет определению отрезка как кратчайшего расстояния между точками.. а пила на круге в пределе, зараза такая, - удовлетворяет определению круга..
Но это только предположение. Вобщем, идея ясна, но хотелось бы почитать что-нибудь из теории меры непосредственно.. Вопрос таки породил небольшую предвзятость с моей стороны, поэтому сам я от общих определений к опровержению вряд ли приду :-)
Может разница в системах координат
РШ
Ренат Шайхутдинов
96 164
Есть общее правило: если в доказательстве видишь слово "очевидно" - тут-то и следует искать ошибку: "очевидное" утверждение на поверку чаще всего и оказывается неверным.
В первой Вашей ссылке, например, "очевидно", что сумма длин полуокружностей к чему-то там стремится. Хотя в действительности она ни к чему не стремится, оставаясь постоянной величиной - π.R. Так же, как путь по "диагонали" квадрата, выполненной в виде лесенки из мелких ступенек со сторонами, параллельными сторонам квадрата, только на взгляд кажется короче, чем просто по двум сторонам того же квадрата.

На то, чтобы вникать в другие "софизмы", просто жалко тратить умственную энергию и интернет-трафик.
Елена Охотник
Елена Охотник
26 711
Ербол Утегенов С первым я погорячился, да, но вторая фигурка ведь удовлетворяет определению круга :-) как и почему, из-за каких иллюзий, понятно.. но не понятно, почему в результате делается вывод что это не круг..

Похожие вопросы