Задача по геометрии 10класс(Пирамида)

Рисуем треугольную пирамиду. Правильная треугольная пирамида - пирамида, у которой в основании лежит правильный треугольник, то есть, у нашего основания все стороны и углы равны.
Обозначаем основание буквами A B C, вершину пирамиды - D. Проводим из вершины пирамиды D к стороне AB высоту под прямым углом (апофему) . Полученную точку обозначаем буквой K.
Ставим в середине основания пирамиды точку О, проводим от D к О линию (высота пирамиды) .
Проводим окружность вокруг основания, и внутри тоже.

Получаем:
ABC - основание, равносторонний треугольник
DK - апофема
DO - высота пирамиды
OB - R описанной окружности (радиус)
OK - r вписанной окружности

Решение:
1) Находим высоту пирамиды.

1.Сначала найдем радиус описанной окружности. Буква а - сторона равностороннего треугольника, лежащего в основании.
R=(a*корень из 3) / 3
Отсюда а=3R/корень из 3=3*4/корень из 3=12/корень из 3 - AC=AB=BC
Теперь находим r
r=(a*корень из 3)/6=(12*корень из 3)/(6*корень из 3)=2 - OK
По теореме пифагора находим DO, высоту пирамиды.
DO=корень (4^2-2^2)=корень (16-4)=корень (12)=2 корня из 3

2) Угол между боковой гранью и основанием.

Найдём с помощью тангенса.
tg угла DKO=DO/OK=2 корня из 3/2=корень из 3 - это tg 60 градусов

3) Площадь боковой поверхности.

S=3*( (a^2*корень из 3) /4) = 3* ( (12/корень из 3)^2*корень из 3 ) /4 ) =3*12*корень из 3=36 кореней из 3

4) Плоский угол при вершине пирамиды.

Сначала найдем тангенс угла KDB. (KB=половине AB=6/корень из 3)
tg KDB = (6/корень из 3)/4= 3/(2*корень из 3)
Теперь найдем тенгенс угла ADB, то есть, угла, который нам надо найти. Для этого умножим тангенс KDB на 2.
tg ADB = 2* ( 3/(2*корень из 3) ) = корень из 3 - это тангенс 60 градусов.

Ответ:
1) 2 корня из 3
2) 60 градусов
3) 36 кореней из 3
4) 60 градусов

1) высота 2 корня из 3
2) 60
3) 36 корней из 3
4) 2 арктангенса из (корень из 3 пополам)