С какой силой нужно тянуть вверх шар, что бы он поднимался с удвоенной скоростью?

Нет, сила сопротивления - это не равнодействующая тяжести и Архимеда. То есть по крайней мере не так просто и не обязательно в общем случае.
Сила сопротивления - третья сила, которую надо направить против движения.
Fсопр = - b*v, где b коэффициент пропорциональности, v - скорость погружения. (Минус, соответственно, обозначает, что сила идёт в обратную сторону) .

По-видимому, коэффициент b надо найти из условия того, что скорость v - постоянна. Т. е. при данной скорости суммарная сила, действующая на тело, равна нулю. Ну, если не найти b, то по крайней мере выразить через скорость или что-то типа того (не хочу непосредственно решать за тебя задачу) . Фактически у тебя написана правильная формула Fсопр=Fт - Fарх.

А дальше надо добавить к этому искомую силу вверх. При этом шар будет двигаться снова с постоянной скоростью, но удовенной и вверх. И не забудь, что при этом сила сопротивления будет направлена уже вниз.

Попробуй так решить.

Добавлено:
Впрочем я чуть подумал - решение на самом деле правильно. Только очень упрощено всё было записано.

>^.^<

Сила, с которой надо тащить шарик вверх со скоростью вдвое больше той, с которой он независимо от испытателя опускался вниз, равна утроенной разнице сил тяжести и архимедовой.
Если важно содержание решения, сообщу дополнительно.
А вообще-то, прикольная задачка!

Если шар поднимается в жидкости вверх, то сила сопротивления заодно с силой тяжести, а скорость здесь будет меняться всё время.

Круть