Протон имеющий массу = массе солнца, это возможно, теоретически?

Нет, не может. Масса протона - одна из фундаментальных (на сегодняшний день) физических констант. То, что порой именуют "релятивистской массой", массой не является - это энергия. Чисто формально (в рамках специальной теории относительности) протон может иметь энергию, равную энергии покоя Солнца. Однако, современная физика элементарных частиц не знает точно, какие реакции будут происходить и при гораздо меньших энергиях. Кроме того общая теория относительности предсказывает возникновение черных дыр тоже при гораздо меньших плотностях энергии, чем рассматриваемая.

Теоретически - да. Любая масса покая, как бы мала она ни была, с приближением к световой скорости возрастает эекспоненциально, в бесконечность. Вопрос в том, сколько энергии нужно в нее вбухать для этого разгона...

Многим кажется, что если вязть что-то офигенно маленькое и сопоставить с чудовищно большим, то получится суперсложная научная проблема, которую не решит ни один аккадемик.
В действительности задача школьная. Современная наука дает однозначный ответ: "НЕТ, не может".
Давайте разберемся, не выходя за рамки школьного курса физики, добавив немножко собственной расторопности и ума.
масса покоя: 1,6*19^-27 кг (938 Мега-электрон-Вольт) . Массу можно выражать в граммах, а вспомнив известную формулу E=m*с^2, массу можно выражать в единицах энергии. электрон-Вольт - одна из таких единиц, она равна энергии которую приобретает частица с зарядом равным электронному в элетирическом поле напряжением 1 Вольт. Мега - множитель 10^6.
Теперь осталось узнать есть ли ограничения на величину энергии для протона в нашей Вселенной. Для этого нужно почитать о космических лучах. Оказывается, что максимальная эненергия наблюдаяемых протонов во Вселенной составляет около 3*10^20 эВ. Не трудно видеть, что энергия таких частиц в 10^11 раз больше энергии покоя протона. Вот и получается, что их эффективная масса 1,6*10^-16 кг, или 0,16 фемтограмм = 0,00016 пикограмм = 0,00000016 нанограмм. Проще говоря, речь идет о микрокопической массе сопоставимой с массой крупного вируса или живой клетки. Да масса, возросла значительно, но до солнечной массы еще очень далеко.
Можно ли разогнать протон до больших энергий. Практически нет. Если энергия становится больше определенного порога, то протон при столкновениях редкими частицами межзвездного вакуума. Можно привести простую аналогия. Хорошая скоростная машина на трассе может разгонаться до 200 км/час. А вот сможет ли с такой скоростью Лексус промчаться по зарослям крыжовника или малины. Масса куста много меньше массы машины, но кусты скорость серьезно ограничвают.
Собственно и все. Ответ мог быть еще короче. А где вы возьмете "портативный"источник энергии, равный по мощности Солнцу, энергию которого можно было передать 1 протону. Очевидный ответ: НЕТ.

"Съесть-то он съел бы, да кто ему даст? " ;)
В космических лучах встречаются, и то очень редко, протоны с релятивистской массой до одной триллионной грамма.

Теоретически по Энштейну даже электрон если пытаться разогнать до скорости света -он будет наращивать массу, что потребуется знергия вселенной. Теоретически.