почему кв. корень не может быть отрицательным? ? ведь подкоренное выражение 4 - это так же и -2 в квадрате

В моём далёком детстве мы так и говорили: какой мол корень ищем - арифметический или неарфметический.. . Потом где-то в году 1960 перестали трогать неарифметический и оставили только арифметический.

Может и есть. Вот арифметический квадратный корень по определению неотрицательное значение квадратного корня.
P.S. Впрочем, по Википедии в статье "квадратный корень" не так. Хотя в других ее статьях по этому поводу есть и другие мнения. Дело соглашения. В англоязычной статье Википедии тоже говорится, что часто это обозначение используется и так и этак.

Ну, так повелось, что по определению "квадратный корень из числа A — это неотрицательное число, квадрат которого равен числу A".
Более того, нас в лицее учили ещё более строгой формулировке: "квадратный корень из неотрицательного числа A — это неотрицательное число, квадрат которого равен числу A. Заставляли отрабатывать это определение, чтобы от зубов отскакивало.. . Понятно, что в университете это правило не действует, так как студенты к тому времени ужЕ умеют извлекать корни и из отрицательных чисел.

Квадра́тный ко́рень из (корень 2-й степени) — это модуль решения уравнения вида x*x=a. Наиболее часто под a подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими математическими объектами, например матрицами и операторами.
Модуль не может отрицательным

это кто так сказал) , если был бы модуль другое дело.. . а так положительное

правило такое)