Какое основание у имеет логарифм log?

Чаще всего имеется в виду натуральный логарифм. Особенно если публикация математическая, и тем более переводная. На Западе математики именно так натуральный (а другие не имеют для них отличительного значения) логарифм и обозначают.

Но верно также и то, что очень часто основание непринципиально. Поскольку логарифм числа прямо пропорционален натуральному логарифму этого числа:

log_a (x) = log_e(x) / log_e (a) =C log x, C - константа.

Непринципиально основание и в приведенном Вами примере "Следующий алгоритм имеет сложность O(кв. корень (p)*log(p))". Действительно, если вдруг логарифм и придется домножать на какую-то константу в связи с изменением основания, то O большому на это наплевать, оно такую операцию игнорирует, функции имеют одинаковый порядок роста.
Итого: Ваше утверждение, будучи верным для одного основания логарифма, останется верным и для всех остальных.

Когда очень надо по каким-то причинам подчеркнуть основание, обычно его пишут явно или оговаривают заранее.

Дополнительно и подробно можно почитать еще здесь.

Это уж у автора публикации в Интернете спросить надо!
Интернет потому и именуют нередко "информационной помойкой", что в нем очень много совершенно безграмотной писанины. И приведенный вами пример - яркая тому иллюстрация.

В сложности алгоритма основание у логарифмов не указывают. На практике обычно его принимают за 10

Логарифмом данного числа по данному основанию называется показатель степени, в которую надо возвести это основание, чтобы получить данное число.
Вместо того, чтобы писать: „логарифм числа 16 по основанию 4" пишут сокращенно так:
log4 16,