Имеет ли смысл логарифм минус восьми по основанию минус два? По логике получается три, потому что (-2)^3=-8.

Объявленные в математических трудах ограничения вполне справедлиы, потому что математика основана на точности не вычислительной, а доказательной.
Если любое отрицательное число дано и мы вычисляем корень любой натуральной степени, - пожалуйста, отрицательность результата (то есть основания степени) доказана И алгоритм вычисления можно четко реализовать.
Но когда мы не знаем, положительно или отрицательно основание, да кроме того неизвестно в какую степень возводить (она не целая), у нас нет просто возможности построить алгоритм, сходящийся к одному результату,.
А любой сходящийся алгоритм строится на способе последовательных приближений, когда с помощью производной можно вычислить на каждом шаге не только более точное значение функции, но и стремящееся к нулю новое значение приращения аргумента.

Простой пример, затухающая знакопеременная синусоида может сойтись к нулевому пределу, когда функция зажата между двумя асимптотами, стремящимися к одному пределу, при этом производная тоже знакопеременная, но убывает по абсолютной величине. Но асимптоты не всегда сходятся к одному пределу, (одна сойдется к отрицательному, а другая к положительному), и в результате синусоида стает постоянной, незатухающей, а амплитуда производной по абсолютной величине равна константе.
А для логарифма ситуация ещё хуже Производная e^x равна e^x, а для e^(-x) равна -e^(-x), и касательные грубо говоря почти перпендикулярны. Любая неточность в вычислениях приведет к непредвиденному результату, и способа уточнения нет.

По этой же причине нельзя и отрицательное целое число возвести в дробную степень.
Алгоритм же для возведения в целую степень отрицательных конечных дробей работает как при возведении в целую степень, так и при извлечении корня целой степени - просто за счет выноса знака, операция со знаком -1 выполняется отдельно.

Нет, не имеет. И ещё основание не равно 1, кстати.
Конечно, так можно подобрать числа, но функция не будет гладкой (и даже кусочно гладкой она не будет и разрывы будут неустранимые).
И в прикладном плане, в т. ч. из-за этого, будут накладки. Скажем, чтобы вычислить вообще какой-то логарифм от вообще какого-то основания, удобно:
loga(b) = ln(b)/ln(a)
Т. о. нам будет достаточно иметь всего одну функцию ln и все логарифмы считать через неё. А с отрицательными мы в пролёте.

все дело в том что (-2)^3=-(2^3), тогда -(2^3)=-8, минусы сокращаются, т. е. приведенное равенство равносильно равенству 2^3=8, тогда log(2)8=3 имеет смысл.