Вопрос по теории относительности. Часто приводят пример с космонавтом, который улетает с Земли на ракете со скоростью,

В специальной теории относительности существует так называемый "парадокс близнецов". Суть этого парадокса в том, что в рамках специальной теории относительности невозможно решить, какой из близнецов постареет больше, так как ситуация полностью симметричная, а чтобы корректно сравнить часы двух близнецов, надо, чтобы оба близнеца находились в одной точке пространства.
В рамках специальной теории относительности невозможно корректно свести обеих близнецов в одну точку пространства, так как специальная теория относительности рассматривает только равномерные и прямолинейные движения. А чтобы вернуть улетевшего близнеца обратно, его надо развернуть, то есть двигаться с ускорением. Или чтобы другой близнец догнал первого, то есть начал относительно другого двигаться с ускорением.
А пока близнецы движутся относительно друг друга прямолинейно и равномерно (то есть их системы отсчета относительно друг друга инерциальны) , ситуация полностью симметрична и в этом заключается весь парадокс.
Этот парадокс полностью разрешается в рамках более общей теории относительности, где рассматривают движения с ускорением и зависимость времени от сил инерции и тяготения. В рамках этой общей теории относительности получается такой результат, что когда оба близнеца окажутся в одной точке пространства, то их часы БУДУТ ПОКАЗЫВАТЬ ОДНО И ТО ЖЕ ВРЕМЯ, БЕЗ ОТКЛОНЕНИЙ, то есть никто не постареет больше другого.
Этот результат не зависит от формы петли траектории того, кто улетел. И не зависит от того, с какими скоростями и ускорениями он двигался по этой петле, в каких гравитационных полях он находился во время этого путешествия.
Таким образом, этот пример про менее постаревшего космонавта целиком на совести Голливуда и писателей фантастов (ну и тех, кто не умеет делать правильные расчеты по формулам теории относительности).

Потому что космонавт, когда поворачивал, перешел из одной системы отсчета в другую. Поэтому сумма времен полета туда и обратно для космонавта другая, чем для земного наблюдателя.

Да, действительно, Земля двигалась относительно ракеты.
Только вот системы отсчёта, связнные с Землёй и с ракетой не эквивалентны: космонавт в ракете испытывал ускорения, а те, кто сидели дома - нет. Вообще говоря, именно по этой причине, методы специальной теории относительности тут неприменимы: она работает только в инерциальных системах отсчёта.

Время ведь измеряют как? С момента вылета и до момента приземления - правильно?
Значит и расстояние полёта измеряют от Земли с момента вылета и до приземления. Так? Так.
Значит весь путь ракеты как бы скреплён с Землёй в одно целое. Измеряя время полёта ракеты с какой- то скоростью получим путь делёный на скорость.
Если рассмотреть всё с точки зрения ракеты, то путь сокращается по формуле Фицжеральда. А это даёт меньше времени при делении пути на скорость.

Теория относительности не доказуема. Во вселенной совершенно другие законы тоже не аксиома.