Из двух правильных n- угольников один вписан в другой. При каких значениях отношения длин их сторон это возможно?

> Постарайтесь осуществить такое вписание для общего случая.

Надеюсь, имелась в виду реализация, а не демонстрация реализации. Тащить сюда картинку мне просто не хочется, ни в каком виде.
Я прикинула тихо сам с собою на бумажечке.

Понятно, что каждый угол в правильном n-угольнике равен α=2π(n-2)/n = 2π- 2π/n. Пусть сторона большего многоугольника = a.

Отступим от фиксированной вершины, скажем, по часовой стрелке вдоль одной стороны расстояние x. Поставим точку. Точно так же в том же направлении от следующей вершины вдоль следующей стороны отступим то же расстояние. Поставим еще одну точку. И так далее, пока не обойдем все вершины. Соединим полученные n точек так, чтобы получился выпуклый многоугольник. Сравнивая треугольники, получившиеся при вершинах, нетрудно доказать, что каждый угол в новом многоугольнике равен α, а все стороны равны между собой. Итак, мы получили множество правильных вписанных n-угольников, длина стороны которых различна в зависимости от х. Обозначим длину стороны b.

Из соображений симметрии, ясно, что b минимально, когда вершины нового, вписанного n-угольника находится в серединах сторон старого, то есть x=a/2. Тогда по теореме косинусов, b = a cos π/n. Поскольку при таком выборе новой вершины наибольшее расстояние от центра масс внутреннего мн-ка до каждой его вершины совпадает с наименьшим расстоянием от центра масс внешнего мн-ка до его стороны, то соотношение сторон b/a = cos π/n является минимальным не только при таком алгоритме построения вписанного n-уг-ка, но и при любом другом.

Из геометрических же соображений, при допустимом изменении x от 0 до а, максимальное соотношение сторон достигалось бы при x=a (или, что то же, x=0). Чего не стоит делать, чтобы сохранить вписанность.

Поэтому cos π/n<=b/a<1.

Тот же результат можно было получить аналитически, воспользовавшись теоремой косинусов для треугольника со сторонами x, a-x b и углом α между ними,

b^2= x^2+(a-x)^2+2x(a-x)*cos 2π/n, 0 < х < a

Исследовав функцию, получим минимум в точке x=a/2, естественно, тот же, что раньше, супремум b=a "достигается" на концах отрезка. Все промежуточные значения отношением принимаются в силу непрерывности.

Максимальное значение: a1=a
Минимальное значение: a1=a*cos(180/n)