Как узнать площадь неправильного 4-угольника, если известны только длины сторон?

Никак. При одинаковых длинах сторон углы могут быть разными, соответственно и площадь разная.

Нужен хотя бы еще один угол. Тогда это дело можно будет попилить на 2 треугольника и использовать теорему косинусов и формулу Герона. А без угла не получится.

нельзя, поскольку таких 4-угольников множество
поэтому нужны дополнительные условия, которыми определяется КОНКРЕТНЫЙ 4-УГОЛЬНИК
например = длина диагоналей, углы между сторонами,...

У него, очевидно, должна быть максимальная площадь. И определить её было бы, наверное, даже любопытной задачкой. Но я уже много лет не практиковался в геометрии и не потяну...

В сформулированном виде имеем множество решений, т. к. четырехугольники могут быть разными.

Но можно изучить это множество. Можно провести одну диагональ, обозначить ее длину как х, например. Затем записать формулу площади четырехугольника, зависящую от х по формуле Герона. В эту формулу войдут длины сторон, как параметры.

Затем исследовать полученную функцию на возрастание-убывание, глобальный максимум через нахождение производной, с учетом области определения и тогда можно будет, например, сделать выводы о максимальной и минимальной площади и ее поведении при изменении длины диагонали.

Там, наверное, нужно будет еще учесть ограничения на возможные значения параметров и область определения для длины диагонали. Скорее всего, получится выразить область определения как функцию параметров - от 0 до наименьшей суммы из двух пар смежных сторон, лежащих по одну сторону от диагонали.
Возможно нужно будет отметить, что мы рассматриваем только выпуклые четырехугольники... Для конкретного набора сторон скорее всего задача будет решаться довольно просто.

Я не силён в геометрии, но рассуждаю так:
1. Любой четырёхугольник не является жёсткой фигурой. Т. е. если есть треугольник, стороны которого известны, то с данными размерами может существовать только один треугольник с неизменными параметрами - углами, периметром и площадью.
2. Четырёхугольник с любыми сторонами может быть разной формы в зависимости от величины углов. И каждая из таких фигур будет иметь различную площадь.
3. Раз с одинаковыми длинами сторон может быть несколько фигур, я уверен что только зная длины сторон вычислить площадь невозможно...

необходимо знать еще значения двух противоположных углов, например А и С. тогда по фомуле Герона S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd*cosф], где ф=(А+С) /2 и р=(a+b+c+d)/2.

Попробуй найти высоту!!!! как найти высоту треугольника, если известны стороны треугольника, но не известна площадь?
1
Первый способ найти высоту – через площадь треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле: S = 1/2 ah, где (a) – сторона треугольника, h – высота, построенная к стороне (а) . Из этого выражения найдите высоту: h = 2S/a.
2
Если в условии даны длины трех сторон треугольника, найдите площадь по формуле Герона: S = (p*(p-a)*(p-b)*(p-c))^1/2, где p – полупериметр треугольника; а, b, с – его стороны. Зная площадь, вы можете определить длину высоты к любой стороне.
3
Например, в задаче указан периметр треугольника, в который вписана окружность с известным радиусом. Рассчитайте площадь из выражения: S = r*p, где r – радиус вписанной окружности; p – полупериметр. Из площади вычислите высоту к стороне, длина которой вам известна.
4
Площадь треугольника также можно определить по формуле: S = 1/2ab*sina, где а, b – стороны треугольника; sina – синус угла между ними.
5
Еще один случай – известны все углы треугольника и одна сторона. Используйте теорему синусов: a/sina = b/sinb = с/sinc = 2R, где a, b, c – стороны треугольника; sina, sinb, sinc – синусы углов, противолежащих этим сторонам; R – радиус окружности, которую можно описать вокруг треугольника. Найдите сторону b из соотношения: a/sina = b/sinb. Затем рассчитайте площадь аналогично шагу 4.
6

Второй способ вычислить высоту – применить тригонометрические зависимости для прямоугольного треугольника. Высота в остроугольном треугольнике делит его на два прямоугольных. Если известна сторона, противолежащая основанию (а) , и угол между ними, примените выражение: h = b*sina. В тупоугольном треугольнике, так как угол (a) тупой, формула немного меняется: h = b*sin(180-a) или h = - c*sina.
7
Если вам даны противолежащий высоте угол и длина отрезка AH, который высота отсекает от основания, используйте зависимость: BH = (AH)*tga.
8
Также, зная длины отрезка AH и стороны АВ, найдите высоту ВН из теоремы Пифагора: BH = (AB^2 – BC^2)^1/2.