высказать предположения чему равна длина стороны квадрата если площадь 400см чему равна длина стороны квадрата

Предположения? Значит, мои предположения могут быть ошибочными. Тогда держи:
длина стороны квадрата равна 20 √см.

sqrt(400) = 20

Если я не знаю формулы площади и если я не могу посчитать корень не используя метода подбора? То есть если по уровню математических навыков я уступаю древним математикам? :)) Ну ладно... предположу.

Как на базе одного квадрата со стороной a построить другой со стороной на 1 больше (a+1) просто добавляя к нему квадратики со стороной 1x1? Надо положить в один из углов квадратик, а потом вдоль каждой из двух сторон, к которым он прикасается, выложить ещё a квадратиков.

Значит, если сторона квадрата длиной a увеличивается на 1, то его площадь увеличивается на 2*a+1. Если рассматривать каждый квадрат со стороной b как набор шагов по увеличению квадрата со стороной 0 (то есть полным отсутствием кубиков) до квадрата со стороной b, то получаем, что площадь такого квадрата равна сумме всех нечётных чисел от 1 до 2*(b-1)+1 включительно
для удобства сократим 2*(b-1)+1 = 2*b-1

Как посчитать сумму ряда, состоящего из всех нечётных чисел от 1 до 2*b-1? Сделаем то же, что в своё время сделал Гаусс (тут нужна только смекалка, никаких особых знаний), мы запишем этот ряд, под ним запишем этот же ряд чисел но в обратном направлении и просуммируем каждую пару чисел. В результате получим b чисел равных (2*b-1)+1 = 2*b. Чему равна сумма b чисел равных 2*b? По определению операции умножения она равна (2*b)*b = 2*b^2. Как помним мы суммировали не просто ряд, а два ряда (один прямой, а другой обратный)... значит искомая сумма вдвое меньше найденной и равна просто b^2

Итак, вот мы и доказали что площадь квадрата со стороной b равна
S(b) = b^2
Значит b = √S(b)

Осталось научиться считать корень :) Тут опять же надо лишь немного смекалки. Если a = b*b, то что мы можем сказать о первом и о втором b? что это одно и то же число! А значит и первое и второе b раскладывают на одни и те же простые множители (первая теорема математики).

то есть
b = p₁*p₂*p₃...*pₖ
a = b*b = p₁*p₂*p₃...*pₖ * p₁*p₂*p₃...*pₖ

Значит что бы получить b, надо разложить a на простые множитель, разделить этот набор на 2 одинаковые части, тогда произведение всех множителей в каждом из двух наборов даст в результате b

Значит, что бы найти b = √S(b) = √400, необходимо разложить 400 на простые множители (разложение на множители тут приводить не буду, потому что скучно и долго)
400 = 2*2*2*2*5*5 = (2*2*5) * (2*2*5)
b = √((2*2*5) * (2*2*5)) = 2*2*5 = 20

Итак, без каких либо предположений, чётко и с доказательствами могу сказать что сторона квадрата площадью 400 см^2 равна 20 см

Что значит "предположения"? Тоже мне, бином Ньютона!
Сторона квадрата = корень квадратный из площади того же квадрата.