Будут ли два тела, имеющие равную площадь поверхности, иметь равный объем?

Ну это можно проверить элементарнейшим образом. Возьмем два любых геометрических тела. Например куб и шар.
Площадь поверхности куба: S1=6a^2 шара: S2=4pi*R^2
Объем куба: V1=a^3, шара V2=(4/3)*pi*R^3

Давайте представим что S1=S2 (равная площадь поверхности)
6a^2=4pi*R^2
Получаем возможные пары (r;a) удовлетворяющие условию:
. Нас интересует только (a >0; R>0)
Ну а теперь проверим любую пару a;R на условие:
a^3=(4/3)*pi*R^3
Ну допустим пару a=1; R=0,69.
a^3=(4/3)*pi*0,69^3
1 = ~1.37

Равенство неверно, как и ваше предположение. Из этой же выкладки следует и обратно - если их объемы равны - это вовсе не значит что равны площади поверхностей.

Впрочем это доказательство должно быть очевидно из древнейшей задачи о квадратуре круга.

а сам подумать не можешь?? ? сложенный полиэтиленовый пакет и наполненный продуктами имеет одинаковую площадь. А объем у первого - ноль, а у второго - полхолодильника.

Если сравнить площади и объёмы шара и куба - формулы для вычисления которых вполне известны, то несложно обнаружить, что предполагаемое Вами равенство приводит к выводу, что квадратный корень из двух должен быть равен кубическому корню из четырёх. Это, очевидно, неверно.

А какая тут теория... любой норм пятиклассник знает, что из тел с одинаковой площадью поверхности наибольшим объёмом обладает шар... без всяких выкладок знает...

А какие тут теоретические выкладки?
Куб со стороной 2 см имеет поверхность 24 кв. см и объем 8 куб. см
А прямоугольный параллелепипед, у которого основание квадрат 1 см и высота 5,5 см, имеет такую же поверхность - 24 кв. см, но объем его 5,5 куб. см
Так что не обязательно

Необязательно. Возьмем два теннисных шарика, один целый, а в другом сделаем вмятину пальцем.
Площади поверхностей не изменились, а объём у второго уменьшится

главное что внутри
но если при идеальных условиях то возможно да