Естественные науки

Должно быть, известно, что из всех р-угольников, вписанных в заданную окружность, наибольшую площадь имеет правильный...

... р-угольник. Я попытался доказать это для наиболее простого случая - треугольника.
Имеем: R= abc/(4S), где R - радиус заданной окружности, a,b,c - стороны треугольника. Отсюда S= abc/(4R) (1). Углы, стоящие напротив сторон a, b, c обозначим через х, у, z соответственно. Имеем: х>0,у>0,z>0, х+у+z= пи. Из последнего z= пи-(х+у). С другой стороны a= 2Rsinx, b= 2Rsiny, c= 2Rsinz= 2Rsin(x+y). Учитывая всё это в (1), получаем: S= 2R^2*sinx*siny*sin(x+y), x>0, y>0, x+y<пи. Таким образом, "остаётся" найти максимум функции двух переменных S= f(x,y). Но дальнейшие выкладки привели меня в такие дебри, что остановился. Может, существует какой-либо способ попроще?
Петр Никульшин
Петр Никульшин
73 731
берем произвольный многоугольник. смотрим на 3 любые последовательные вершины A,B,C.

треугольник ABC - часть всего многоугольника. Заметим, что если мы сможем так переместить B, что площадь ABC увеличится - мы увеличим и площадь всего многоугольника. То есть, если многоугольник максимальной площади, то любое перемещение В уменьшит площадь.

а теперь нетрудно сообразить, что площадь АВС максимальна, когда он равнобедренный (основание то же, высота - максимальна). Значит у максимального N-угольника все соседние стороны должны быть равны между собой. Значит все стороны равны между собой.
АБ
Александр Байдуж
73 301
Лучший ответ
Nina Bobeica Одобряю
Петр Никульшин Интересные рассуждения, Будем полагать, что это и есть строгое доказательство.
Странный вопрос.
Не знаю, кому чего известно, но мне очевидно, что максимальную площадь будет иметь n-угольник у которого n→∞
Лейла Жикина
Лейла Жикина
54 049
Петр Никульшин Речь не о зависимости площади от числа сторон многоугольника, а о зависимости этой площади при фиксированном значении числа сторон от соотношения углов при вершинах...
Проведем их центра лучики, рассмотрим образованные соседними лучиками центральные углы.

2S = сумма синусов центральных углов -> макс
при ограничениях: сумма углов = 2пи, каждый угол больше нуля и пусть (пока что для простоты) меньше пи
Запишем иначе:
среднее арифметическое синусов центральных углов -> макс
при ограничениях: среднее арифметическое углов равно 2pi/p (а, следовательно, синус среднего арифметического равен sin(2*pi/p)

По неравенству Йенсена для выпуклых функций синус среднего арифметического углов больше или равен среднему арифметическому синусов, значит, когда все углы равны, достигается максимум среднего арифметического синусов.
PS. Для строго выпуклых функций нер-во Йенсена можно сделать строгим.

PPS. Просто очень хотелось неравенство Йенсена применить, оно охрененно важно в выпуклом анализе. Много есть интересных следствий из него.
Альфия Кадырзянова
Альфия Кадырзянова
76 843
Петр Никульшин Мне следует разобраться, почему "2S = сумма синусов центральных углов". У меня же получилось "S/2 = ПРОИЗВЕДЕНИЕ синусов ВНУТРЕННИХ углов"...
Татьяна Талипова Задачку к которой привел Рустама этот вопрос я тоже запомнил, там частный случай треугольника рассматривался, но как-то потерял на него ссылку, считаю Ваш ответ лучшим, несмотря на решение автора вопроса. Да, путь через неравенство Йенсена это математически верно, хоть и не для средних умов!
Татьяна Талипова Лучший ответ должен был быть твой!
Сформулируем по-другому - общая площадь сегментов, отрезанных стронами п -угольника, минимальна для правильного п-угольника. тогда доказательство общего случая можно вести от дуг на окружности и их соотношений.
Andrey Kudryawzew
Andrey Kudryawzew
21 603

Похожие вопросы