Если радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 2 см, то чему равна плошадь этого треугольника?

a - длина стороны. P - периметр. Тогда 0.5a/ r= ctg30 =Sqrt(3). Отсюда:
a = 2*r*SQRT(3). S = 0.5*P*r = 0.5*3a*r = 3*SQRT(3)*r^2 =
12*SQRT(3)

Радиус вписанной в тр-к окр-ти вычисляется по формуле: r=aV3/6.
Площадь правильного тр-ка вычисляется по формуле: S=a^2V3/4.
Выражаем а (сторону тр-ка) из первой формулы и подставляем во вторую:
a=12/V3=4V3,S=(4V3)^2*V3/4=12V3(кв. см).

Построим все три биссектрисы треугольника. С одной стороны, они все будут проходить через центр окружности (свойство вписанной окружности) , с другой - являться высотами и медианами треугольника (так как треугольник равносторонний, а следовательно равнобедренный в трёх смыслах (то есть, любые из трёх пар его сторон могут являться "бёдрами")). Так как центр лежит на пересечении медиан, то он разделяет каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершин (*). С учётом того, что каждый построенный отрезок является высотой (а это значит, что он перпендикулярен соответствующей стороне треугольника) , проходит через центр окружности (то есть, с учётом того, что окружность полностью содержится в треугольнике, содержит некий радиус этой окружности) , а также того, что он имеет общие точки с соответствующей стороной, делаем вывод, что конец этого отрезка, не являющийся вершиной треугольника, является точкой касания и концом радиуса, не являющегося центром окружности. Поэтому радиус совпадает с отрезком с концами в виде центра окружности и конца построенного отрезка, не являющегося вершиной треугольника, и с учётом (*) длина отрезка равна значению, в три раза большему, чем радиус окружности. Зафиксируем какой-либо из построенных отрезков. Угол любого из двух прямоугольных (в силу того, что отрезок - высота) треугольников, на которые наш отрезок делит исходный треугольник, при вершине, являющейся и концом построенного отрезка, и вершиной треугольника равен тридцати градусам (так как он образован делением пополам угла исходного треугольника, равного (по свойству равностороннего треугольника) шестидесяти градусам) . Поэтому противолежащая ему сторона равна длине построенного отрезка, умноженного на тангенс тридцати градусов (единица, делённая на корень из трёх) , то есть радиусу окружности, умноженному на три и разделённому на корень из трёх. Эта противолежащая сторона равна половине длины стороны исходного треугольника, так как получилась делением её на две равные части, (при построении отрезка-медианы) , поэтому длина стороны исходного треугольника равна радиусу окружности, умноженному на два, далее на три и далее разделённому на корень из трёх, то есть радиусу окружности, умноженному на шесть и разделённому на корень из трех. Площадь исходного треугольника (которую требуется найти) равна любой его высоте (в частности, построенному отрезку) , умноженной на сторону, на которую опущена эта высота (в данном случае это может быть любая из сторон исходного треугольника) и разделённой на два, то есть радиусу окружности, умноженному на три и разделённому на корень из трёх, далее умноженному на радиус окружности, шесть и разделённому на корень из трех, то есть квадрату радиуса окружности, умноженному на восемнадцать и разделённому на три, то есть квадрату радиуса, умноженному на шесть. В данном случае это значение будет равно 24 см^2.