Существует ли такое движение электрического заряда, при котором он не излучает электромагнитные волны?

Вопрос интересный, но поставлен раково! Заряд сам по себе не существует! Должно быть тело носитель заряда! Это же как вы заставите заряженное тело лететь со скоростью света, чтобы вокруг него проявилосьмагнитное поле? Икак тело может сбросить (излучить) магнитное или электрическое поле - Хорёк его знает! Другое дело, когда вопрос был бы поставлен об электрическом токе или электронном потоке! При появлении электронного тока (потока) вокруг проводника с током возникает магнитное поле распространяемое, но не излучаемое! При прекращении тока, мгнитное поле сокращается, но не излучается! Для того, чтобы произошёл акт излучения, необходимо противопоставить начавшему сокращаться электромагнитному полю другое поле противоположной направленности! Тоесть, быстро изменить направление тока в проводнике! Меняя направление тока с определённой частотой получим излучение электромагнитной волны! Харьков и рэтроградов от науки попрошу воздержатья от испускания комментария!

Поскольку нет разницы между покоем и равномерным прямолинейным движением, то при таком движении относительно наблюдателя магнитного поля не будет.
А электромагнитные волны (гамма-, рентгенизлучение, УФ, видимый свет, ИК, радио) так просто не излучаются.

вокруг неподвижного заряда существует электрическое поле, при движении заряда-магнитное поле!

Заряженная частица не будет излучать при равномерном и прямолинейном движении со скоростью меньше скорости света для данной среды.

Также, например, если электрон находится в атоме на одной и той же орбитали. Он при этом таки движется, так как согласно соотношению Гейзенберга у него имеется неопределенность скорости (импульса) .