Загадка. Есть ли такие даты, когда солнечная тень от точечного предмета весь день ползет точно на восток?

Это бывает в тропиках ( в НАСТОЯЩИХ тропиках, т. е. между тропиком Рака и тропиком Козерога) в те дни, когда НА ДАННОЙ ШИРОТЕ Солнце в полдень оказывается точно в зените.

НО! Если уж совсем-совсем точно, то движение Земли по своей орбите не осталавливается ни на секундочку. Поэтому СТРОГО говоря, даже в течение этого дня (светового дня) наклон земной оси успевает измениться, а поэтому движение центра тени - не совсем по прямой линии, а по немножко изогнутой.

Это, строго говоря, зависит от длины наземной части палки. При её нулевом значении - в дни весеннего и осеннего равноденствий. Укажите высоту конца палки - назову дату (для каждой широты отдельно).

нет таких дат, но есть даты когда тень до полдня ползет точно на запад, укорачиваясь до 0 в полдень, а потом полдня ползет точно на восток. в эти дни солнце движется по небесному меридиану.

Каждый день. Кроме полярной ночи, конечно

На экваторе, каждый день..

На экваторе в дни равноденствий.

А Может быть - у полюсов?!

Интерес могут представлять две широты: экваториальные (тропик) и полюса.
1) На экваторе, например, Солнце проходит через точку зенита в дни весеннего и осеннего равноденствий, но так движение по эклиптике непрерывно, то линия будет кривой, и не СТРОГО на восток. (Я полагаю, что под РОВНОЙ вы подразумевали прямую? ) :)
2) Интересно определяются стороны света вблизи полюсов. Если считать, что линия на восток-запад совпадает с параллелями, то совсем близко от палки, воткнутой в географический полюс линия восток-запад будет представлять собой окружность совпадающую с соответствующей параллелью. Тогда в течение полугода (полярный день) тень от палки за сутки будет описывать приблизительно окружность в направлении на запад (не на восток) . Но, опять-таки, учитывая годовое движение Солнца, получаем не окружность, а кусочек спирали. Кроме того, линия не является прямой.
Так что ответа на ваш вопрос, в сформулированном вами виде, не существует.
Спасибо за интересный вопрос.
С уважением.

День солнцестояния

22 июня и 22 декабря!)

На экваторе есть.