найти площадь шестиугольника

Начнём с правильного шестиугольника со стороной 5. Ясен пень, что вот этот вот получается из правильного параллельным смещением сторон, раз все углы равны. Причём смещение одинаковое и такое, что длина стороны изменяется на 1 (либо увеличивается, либо уменьшается) . При этом длина соседней стороны тоже изменяется на 1. Поэтому получается 6-угольник со сторонами 4, 5, 5, 6, 3 и 7.
А дальше чисто терпение и аккуратность.. . Соедините вершины через одну. Получится треугольник, вписанный в шестиугьльник. Стороны этого треугольника определяются по теореме косинусов. Так что теперь по формуле Герона не штука сосчитать как площадь этого вписанного треугольника, так и тех трёх, которые он отъедает от шестиугольника. Ну и площадь шестиугольника - это сумма площадей четырёх треугольников.

Последуем совету Леонида и начнём с правильного шестиугольника со стороной 5. Площадь его равна 6*5^2*√(3)/4=37,5*√(3)/
Если рассматривать этот шестиугольник как гайку, то ее размер под ключ равен 5*√(3).
Теперь удлиним две параллельные стороны на 1, получив шестиугольник со сторонами 6, 5, 5, 6, 5, 5, т. е по сути дела "разрежем" эту гайку пополам, разведем две половинки и вставим между ними прямоугольник со сторонами 1 и 5*√(3) и площадью 5*√(3). Площадь полученного неправильного шестиугольника равна (37,5+5)*√(3)=42,5*√(3).
Теперь отрежем от полученного шестиугольника трапецию с основаниями 5 и 7 и боковыми сторонами по 2. Высота этой трапеции равна √(3), а площадь 6*√(3).
В итоге получится искомый шестиугольник со сторонами 4, 5, 5, 6, 3, 7. Площадь его равна (42,5-6)*√(3)=36,5*√(3).

Согласен - это 6-угольник со сторонами 4, 5, 5, 6, 3, 7.
Он получается из правильного со стороной 5, к которому добавили трапецию с основаниями 4 и 3 и отрезали трапецию с основаниями 5 и 6. Высоты трапеций равны √3/2.

Поэтому площадь равна 25√3/4 + 7√3/4 - 11√3/4 = 21√3/4.