Я тут размышлял о значениях алгебраических многочленов в геометрии.
И вскоре привело меня это к вопросу о том, что же такое точка.
Интересно то, что любой одночлен вида x^y характеризует некоторую, так скажем " основную степенную характеристику" геометрического объекта. (быть может есть более правильное определение. Но я его не знаю)
Так, например x^2 будет выражать площадь некоторого квадрата в двумерном измерении.
показатель степени здесь выражает размерность пространства, так же можно поссчитать количество "элементов" задающих квадрат. (я имею ввиду количество сторон такой фигуры в двумерном пространстве) для этого показатель степени нужно умножить на 2.
Это работает и с x^3. Куб - трёхмерная фигура, которая задается 3*2=6 элеметами (квадратами) . Выражение x^3 характеризует "основную степенную характеристику куба" - объем/
Так же четырехмерный гиперкуб имеет 8 элементов (состоит из 8 трехмерных кубов) а основной его характеристикой будет "гиперобъем"
Но идти вверх не так интересно, интереснее спуститься на размерности ниже.
Например x^1 - это одномерная линия, которая задается двумя элементами (точками) . А сама степень характеризует длину линии.
Но самое интересное случается ещё ниже:
x^0 - безразмерная фигура, точка. не характеризуется ни одним элементом. фактически, нельзя задать величину "сторон точки", т. к. иначе она станет иметь величину, и потеряет своё основное свойство - безразмерность.
НО! x^0 всегда равно единице (алгебраически это легко проверяется)
То есть, у безразмерной фигуры, фактически, не имеющей никакого размера, существует основная степенная характеристика, равная единице.
Интересно так же, что отсюда следует, что точку, в каком то смысле, можно разложить в квадрат (или в куб или в гиперкуб и т д) !
Действительно, x^0=1^x
Так что же такое эта точка? Безразмерная, но характеризующаяся постоянной величиной.
Естественные науки
Точка, степенные характеристики. Интересно
"Основная степенная характеристика", как Вы изволили выразиться, в геометрии называется объёмом (обобщенным) . Объём любого нульмерного объекта (точки) всегда равен константе. То, что константа взята равной 1 - это просто произвольная (и удобная) нормировка.
"так же можно поссчитать количество "элементов" задающих квадрат. "
Множество этих элементов называется границей геометрического объекта. Кстати, для двумерного объекта "круг" граница естественным образом состоит из всего одного элемента - окружности, а не четырёх отрезков, как для квадрата. Вместе с тем объём (в 2-мерном случае это площадь) по-прежнему пропорционален квадрату линейной характеристики.
"Интересно так же, что отсюда следует, что точку, в каком то смысле, можно разложить в квадрат (или в куб или в гиперкуб и т д)! "
Из того, что счёт яблокам или грушам можно вести с помощью натуральных чисел, а 1^3 = 1^5 = 1, вовсе не следует, что точку можно "разложить" в 3 яблока или в 5 груш. Между тем, единицу действительно можно представить разными и порой весьма нетривиальными способами. Такие процедуры называются "разложением единицы" и находят широкое применение как в вычислительной математике, так и в формальных доказательствах.
"так же можно поссчитать количество "элементов" задающих квадрат. "
Множество этих элементов называется границей геометрического объекта. Кстати, для двумерного объекта "круг" граница естественным образом состоит из всего одного элемента - окружности, а не четырёх отрезков, как для квадрата. Вместе с тем объём (в 2-мерном случае это площадь) по-прежнему пропорционален квадрату линейной характеристики.
"Интересно так же, что отсюда следует, что точку, в каком то смысле, можно разложить в квадрат (или в куб или в гиперкуб и т д)! "
Из того, что счёт яблокам или грушам можно вести с помощью натуральных чисел, а 1^3 = 1^5 = 1, вовсе не следует, что точку можно "разложить" в 3 яблока или в 5 груш. Между тем, единицу действительно можно представить разными и порой весьма нетривиальными способами. Такие процедуры называются "разложением единицы" и находят широкое применение как в вычислительной математике, так и в формальных доказательствах.
Сколько в нуль-мерном кубе (-1)-мерных граней?
В принципе-то размышления Ваши логичны, но имеют одну очень грубую ошибку. х- это линейные размеры сами по себе. Для линии x^1, плоскости x^2, пространства x^3 и гиперпространств x^4-x^n такой способ представления кубов (как фигур) n-го порядка приемлим (при n<>0. При n<0: n=-1, х будет мнимым числом; n=-2 - комплексным; n=-3 - суммой комплексного и мнимого или суммой двух комплексных - результат один и тот же - гиперкомплексное число размерности 3; при n=-4 - кватернион, 8-ю размерность будет задавать октонион и т. д) . Но вот задавать безразмерную величину - точку линейным параметром х - это в корне неправильно.
Если исходить из этой логики построения n-ьерных фигур, то точка - это 0^0 и никак по другому.
Если исходить из этой логики построения n-ьерных фигур, то точка - это 0^0 и никак по другому.
Natalja Esholts
9 230
Похожие вопросы
- Можно ли по графику степенной функции определить мгновенную скорость в конкретной точке без всякой производной ?
- Как отразить на графике производную степенной функции ? ,которая равна (n x^(n -1 ) )
- Я знаю как выводится производная степенной функции, но почему нельзя показать это на графике ?
- Что такое душа с точки зрения физики? Можно ли выделить какие то характеристики?
- Каждая точка пространства имеет свои отличительные характеристики, которые не может описать три проекции, согласны?
- Предельная и граничная точка
- Математика. Как называется, когда поверхность, где прикасаются друг к другу не все части, а только некоторые точки?
- почему говорят производная функции в точке ЕСЛИ ТАМ УЧАСТВУЮТ ДВЕ ТОЧКИ?? ? спасибо
- Задача на движение двух точек в двухмерном пространстве.
- почему говорят производная функции в точке ЕСЛИ ТАМ УЧАСТВУЮТ ДВЕ ТОЧКИ??? спасибо