два маленьких шарика массами m и 2m

до удара первый шарик обладает потенциальной энергией: mgh = mg (l - l·cos(A)) = mgl·0,5
В момент до удара, она уже преобразовалась в кинетическую: mv·v / 2
Т. о. mgl·0,5 = mv·v / 2
gl = v·v
v = корень ( gl ).
При неупругом ударе скорость шаров после удара равна, тогда согласно закону сохранения импульсов:
до у дара: mv + 2m·0 = mv
после удара: mu + 2mu = 3mu
тогда, приравням оба выражения имеем: mv = 3mu
v = 3u
u = v / 3
После удара, шарики будут обладать кинетической энергией:
первый mu·u = mv·v / 9 = mgl / 9
второй 2mu·u = 2mv·v / 9 = 2mgl / 9
которая преобразуется в потенциальную:
первый mgh1 = mgl / 9
второй 2mgh2 = 2mgl / 9
откуда, высота подъема шариков:
первого h1 = l / 9 = 90/9 = 10 cм
второго h2 = l / 9 = 90/9 = 10 cм
Ответ: h=10 см.
___________
При упругом ударе - скорости шаров различны, поэтму воспользумся теоремой о сохранении импулься и теоремой о сохранении энергии:
до удара:
импульс mv + M·0 = mv
энергия mv·v / 2 + M·0 = mv·v / 2
после удара:
импульс mu + MU
энергия mu·u / 2 + MU·U / 2.
По условию, энергия меньшего шара до и после удара: 1 / 4 mv·v / 2 = mu·u / 2
mv·v / 8 = mu·u / 2
v·v / 4 = u·u
u = корень (v·v / 4) = v / 2
Но, тогда энергия большего шара: MU·U / 2 = 3/4 mv·v / 2 = 3 mv·v / 8
MU·U / 2 = 3 mv·v / 8
MU·U = 3 mv·v / 4
U = корен ( 3m / M ) ·v / 2
Приравнивая выражения, получаем:
mv = mu + MU,
разделим его на m
v = u + U ·M/m
v = v / 2 + корен ( 3m / M ) ·v / 2·M/m
Сократив на v и упростив, получаем:
1= 1/2 + корен ( 3M / m ) / 2
корен ( 3M / m ) / 2 = 1 / 2
корен ( 3M / m ) = 1
3M / m = 1
M / m = 1 / 3
Что странно - ведь М должен быть больше... А значит м ошиблись: )
Ошибко наша в уравнении импульсов, мы предпологали Ючто шары после соударения покатятся в одну строну ( mv = mu + MU), учтем то, что меньший шар поменяет направления скорости, тогда:
mv = -mu + MU, и имеем:
разделим его на m
v = -u + U ·M/m
v = -v / 2 + корен ( 3m / M ) ·v / 2·M/m
Сократив на v и упростив, получаем:
1= -1/2 + корен ( 3M / m ) / 2
корен ( 3M / m ) / 2 = 3 / 2
корен ( 3M / m ) = 3
3M / m = 9
M / m = 3
Вот теперь, то что нужно!

1. При неупругом ударе выполняется только закон сохранения импульса. Используя его найдем кинетическую энергию шаров после удара.
Для начала найдем скорость 1-го шара в момент удара. Для этого найдем потенциальную разность потенциальных энергий отклоненного шара и свободно висящего.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой равной длине нити - 90 см. Нас интересует длина катета а, прилегающего к углу 60 градусов. По определению косинуса:
cos(60) = a/90
a = 90*cos(60) = 45
Тогда разность высот между отклоненным шаром и свободно висящим равна:
90 - 45 = 45 см = 0.45 м.
Кинетическая энергия шарика в момент столкновения, согласно закону сохранения энергии, будет равна:
mgdh = mV²/2
Откуда скорость шара в момент столкновения:
V = √(2gh)
Далее, согласно закону сохранения импульса:
mV1 + 2mV2 = 3mV3
т. к. V2 = 0
V1 = √(2gh)
то:
m√(2gh) = 3mV3
V3 = √(2gh)/3
Соответственно кинетическая энергия слепившихся после столкновения шариков будет равна:
Ek = 3mV3²/2 = 3m*2gh/2*9 = mgh/3
Шары будут подниматься, пока их кинетическая энергия полностью не перейдет в потенциальную. Тогда, согласно закону сохранения энергии:
mgh1 = mgh/3
где h1 - высота подъема шаров.
h1 = h/3 = 45/3 = 15 см.
2. Т. к. удар абсолютно упругий, действует закон сохранения энергии и закон сохранения импульса:
mV²/2 = mV1²/2 + MV2²/2
mV = mV1 + MV2
При этом вспомним, что mV1²/2 = (1/4)mV²/2
откуда:
V1 = V/2
тогда:
mV = mV/2 + MV2
mV/2 = MV2
V2 = (m/M)V/2
Или
2(М/m) = V/V2
Кроме того:
(3/4)mV²/2 = MV2²/2
или
(3/4)m(V/V2)² = M
подставим:
(3/4)m(2M/m)² = M
(3/4)4M²/m = M
(3/4)(M/m) = 1
M/m = 4/3
Вот и все.
Успехов!