...Для ориентировки: полёт пули происходит в направлении оси х. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен μ. Между бруском и стенкой справа вставлена пружина жёсткостью k; вплотную, но без предварительного сжатия. Если скорость пули v достаточно мала, но способна подвинуть брусок с места, то последний, перемещаясь на некоторое расстояние, остановится. Если скорость достаточно высока, то брусок после перемещения вправо возвратится немного назад и остановится (может случиться, что совершит даже быстрозатухающее колебание). Требуется определить граничное значение v, ниже которого брусок останавливается после движения вправо. а выше - после возврата влево.
Я получил формулу v= μ(m+M)g*√(6/(mk)). Верна ли она?
Естественные науки
Пуля массой m ударяется о деревянный брусок массой М, лежащий на горизонтальной плоскости, и застревает в нём...
Сергей Балашов
54 112
"Для ориентировки: полёт пули происходит в направлении оси х" - оси x в природе не существует, а в трёхмерной системе координат её принято рисовать направленной к нам :))
брусок не вернётся обратно, если сдвинется на такое расстояние x, что
kx ⩽ μMg
x ⩽ μMg/k
Теперь сам удар. По закону сохранения импульса
mv₁ = (m+M)v₂
v₂ = v₁*m/(m+M)
Но движение у нас не равномерное, а равноускоренное, с ускорением
a = -μMg
тогда
t = v₁*m/(m+M) / μMg
x = v₁*m/(m+M) * v₁*m/(m+M) / μMg - μMg * (v₁*m/(m+M) / μMg)^2 / 2 = (v₁*m/(m+M))^2 / 2μMg
Итак, если мы ищем граничное значение, то знак "меньше или равно" заменяем просто на равно:
x = μMg/k
(v₁*m/(m+M))^2 / 2μMg = μMg/k
v₁*m/(m+M) = μMg*√(2/k)
v₁ = √(2/k) * μMg * (m+M) / m
брусок не вернётся обратно, если сдвинется на такое расстояние x, что
kx ⩽ μMg
x ⩽ μMg/k
Теперь сам удар. По закону сохранения импульса
mv₁ = (m+M)v₂
v₂ = v₁*m/(m+M)
Но движение у нас не равномерное, а равноускоренное, с ускорением
a = -μMg
тогда
t = v₁*m/(m+M) / μMg
x = v₁*m/(m+M) * v₁*m/(m+M) / μMg - μMg * (v₁*m/(m+M) / μMg)^2 / 2 = (v₁*m/(m+M))^2 / 2μMg
Итак, если мы ищем граничное значение, то знак "меньше или равно" заменяем просто на равно:
x = μMg/k
(v₁*m/(m+M))^2 / 2μMg = μMg/k
v₁*m/(m+M) = μMg*√(2/k)
v₁ = √(2/k) * μMg * (m+M) / m
mv=(M+m)u
(M+m)u²=kx²+2µ(M+m)gx
m²v²/(M+m)=kx²+2µ(M+m)gx
v=(1/m)√(kx²(M+m)+2µ(M+m)²gx)
kx=µ(M+m)g
v=(1/m)√((M+m)³µ²g²/k+2µ²(M+m)³g²/k)=(1/m)√(3(M+m)³µ²g²/k)=
=((M+m)µg/m)√(3(M+m)/k)
([кг] [1][м/с²]/[кг]) √([кг] /([Н/м])) =([м/с²])√([кг] [м] /[Н]) =([м/с²]√([кг] [м] /([кг] [м] /[с] ²)=[м/с²][с] =
=[м/с]
(M+m)u²=kx²+2µ(M+m)gx
m²v²/(M+m)=kx²+2µ(M+m)gx
v=(1/m)√(kx²(M+m)+2µ(M+m)²gx)
kx=µ(M+m)g
v=(1/m)√((M+m)³µ²g²/k+2µ²(M+m)³g²/k)=(1/m)√(3(M+m)³µ²g²/k)=
=((M+m)µg/m)√(3(M+m)/k)
([кг] [1][м/с²]/[кг]) √([кг] /([Н/м])) =([м/с²])√([кг] [м] /[Н]) =([м/с²]√([кг] [м] /([кг] [м] /[с] ²)=[м/с²][с] =
=[м/с]
Надежда Круглова
86 283
Сергей Балашов
См. дополнение
Сергей Балашов
Дополнения закончил - пр. см.
м -коэф. трения
F - сила трения
mv^2/2=k*x^2/2+F*x
F=м*(M+m)g
x=(M+m)g*м/k
mv^2/2=[м*(M+m)g]^2/(2k)+[м*(M+m)g]^2/k=3[м*(M+m)*g]^2/(2k)
v=м*(M+m)*g*sqrt[3/(km)]
F - сила трения
mv^2/2=k*x^2/2+F*x
F=м*(M+m)g
x=(M+m)g*м/k
mv^2/2=[м*(M+m)g]^2/(2k)+[м*(M+m)g]^2/k=3[м*(M+m)*g]^2/(2k)
v=м*(M+m)*g*sqrt[3/(km)]
Сергей Балашов
См. дополнение
Сергей Балашов
Дополнения закончил - пр. см.
тормозной путь - х пули в бруске не равен расстоянию s пройденном бруском до остановки. время остановки - тау пули не равно времени остановки бруска t. такое возможно только в частом случае при специальном подборе данных, но тогда это должно быть оговорено в условии. универсального аналитического метода нахождения х и тау нет, т. к. они зависят от многих параметров, не упомянутых в этой задаче, следовательно величиной Апул/бр в данной задаче можно пренебречь. тога решение такое. Fт=ks (1), s=n(m+M)g/k (2) mv^2=2Fт*s+ks^2=3ks^2 (3), отсюда v=x√(3k/m)=[n(m+M)g/k]√(3k/m)=n(m+M)g√(3/km)
Сергей Балашов
Эти замечания я предвидел, но в условиях их не затронул, чтобы не "загромождать" текст, и так не малый. "Чуял", кто-нибудь да выведет их на свет.
1) Рассмотрим такую задачу: "Пуля ударила о деревянный брусок и застряла там. При этом брусок, перемещаясь на расстояние s, остановился благодаря действию каких-то других, внешних сил. Протяженность углубления пули в бруске s1 (меньше s), а средняя сила "вхождения" пули в брусок Fcp. Какова будет потеря энергии именно от этого соударения: Fcp*s1 или Fcp*s?" Над этим вопросом (и двумя другими, поднятыми вами) я немало думал и пришёл к такому выводу: раз система относительно плоскости (Земли) перемещается на s, то и потеря должна быть рассчитана по второй из этих формул, ЕСЛИ действие Fcp прекращается в момент остановки бруска...
1) Рассмотрим такую задачу: "Пуля ударила о деревянный брусок и застряла там. При этом брусок, перемещаясь на расстояние s, остановился благодаря действию каких-то других, внешних сил. Протяженность углубления пули в бруске s1 (меньше s), а средняя сила "вхождения" пули в брусок Fcp. Какова будет потеря энергии именно от этого соударения: Fcp*s1 или Fcp*s?" Над этим вопросом (и двумя другими, поднятыми вами) я немало думал и пришёл к такому выводу: раз система относительно плоскости (Земли) перемещается на s, то и потеря должна быть рассчитана по второй из этих формул, ЕСЛИ действие Fcp прекращается в момент остановки бруска...
Сергей Балашов
...независимо от величины s1 (это, впрочем, уже из следующего вопроса)... Думаю, на этот спорный вопрос лучше ответят механики-теоретики. Неплохо было бы вывести его как отдельный вопрос.
Продолжение следует.
Продолжение следует.
Сергей Балашов
Имеем: Fcp*s= Fcp*s1+Fcp*(s-s1). Первое слагаемое - это выделенная при ударе теплота; во втором ни грамму теплоты нет, тем не менее, по-моему, и оно имеет право на существование. Почему? Надо ещё подумать.
2) "тау пули не равно времени остановки бруска t". Это я затронул в первом своём дополнении: "t - время перемещения системы в крайнее правое положение; для простоты это время примем равным времени соударения пули с бруском". Не вижу веской причины, чтобы эти времена значительно отличались друг от друга благодаря наличию противодействий трения и пружины. В любом случае без этого допущения задача вряд ли была разрешимой, хотя оно, конечно, не аргумент. Может, следовало бы, как вы отметили, это оговорить в условиях.
Продолжение следует.
2) "тау пули не равно времени остановки бруска t". Это я затронул в первом своём дополнении: "t - время перемещения системы в крайнее правое положение; для простоты это время примем равным времени соударения пули с бруском". Не вижу веской причины, чтобы эти времена значительно отличались друг от друга благодаря наличию противодействий трения и пружины. В любом случае без этого допущения задача вряд ли была разрешимой, хотя оно, конечно, не аргумент. Может, следовало бы, как вы отметили, это оговорить в условиях.
Продолжение следует.
Сергей Балашов
3) "...следовательно величиной Апул/бр в данной задаче можно пренебречь". Для определения скорости "прилипших" друг к другу изолированных тел после абсолютно неупругого удара применяют лишь ЗСИ; ЗСЭ используется для определения потери энергии, что является СУТЬЮ таких соударений и которая, кстати, может приобретать значительную величину. Поэтому пренебрежение этим слагаемым лишь из-за наличия спорных моментов (которые тут действительно есть, но разрешимы с помощью разумных допущений) считаю неправильным.
ИТОГ: с первыми двумя замечаниями теперь уже полностью согласен: надо было всё это оговорить в условиях задачи. С третьим, как видите, нет.
ИТОГ: с первыми двумя замечаниями теперь уже полностью согласен: надо было всё это оговорить в условиях задачи. С третьим, как видите, нет.
Похожие вопросы
- На груз массы m=1 кг, лежащий на горизонтальной поверхности, начинает действовать горизонтальная сила F, изменяющаяся по
- Груз массой m=1 кг, подвешенный на нити длиной L=1 м
- На подставке высотой h=5м лежит шар массой M=200г.
- Почему орбиты планет лежат в одной плоскости?
- два маленьких шарика массами m и 2m
- Срочно!Как будет вести себя идеальный шар на идеальной горизонтальной плоскости?
- Один вопрос заставил задуматься (про шахту сквозь планету). Каким образом изменяется значение массы М? (внутри объясняю)
- как найти силу, зная массу и скорость? например: при поднятие кирпича массой m и скоростью v ?
- Смысл формулы Е=mc2. Как может масса m двигаться со скоростью света, ведь для этого надо быть фотоном, с массой 0?
- Можно ли объяснить формулу E=mc^2 так: если тело массой m будет двигаться со скоростью с^2,то получится энергия=E.
2) Закон сохранения в записанном вами виде - это когда на систему "пуля - брусок" не действуют внешние силы. В нашем же случае на неё действуют сила трения и переменная реакция пружины.
3) За время я принял продолжительность удара, которую для простоты принял за время перемещения бруска. В исходе этого времени скорость системы - нуль, в отличие от ваших выкладок...