Можно ли сказать что матрица это набор элементов одного типа? В двух словах что значит матрица?

В математике, система элементов aij (чисел, функций или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции) , расположенных в виде прямоугольной схемы, то есть множество с определенными операциями . Если определить, что яблоко плюс груша равна дыне, яблоко умножить на грушу равно кабачку, есть единичный элемент : дыня умножить на 1 равна дыне получим алгебру. (еще добавить ассоциативность, и обратный элемент) . Это только первый этап . (Вообще то должны быть изоморфны полю действительных или комплексных чисел )
Но есть еще операции на матрицами, которым должна удовлетворять таблица m*n из этих элементов: умножение на скаляр, сложение, умножение матриц, существует обратная матрица.
Т. о ответ : набор элементов (множество) с операциями в виде таблицы, плюс операции с этими таблицами .
«Вклиним букву» и определим как с ней взаимодействуют другие элементы ( может запись в не десятичной системе, например 16 ричной, где F = 15))) то и возможно )

Двумерный массив =)

ПАРАДОКс матрицы!
------------------------------------------
Как-то решиль я читать парадокс,
Хатель стать немнога умный!
Ара, оказалься настоящий бокс,
Деруца тихий и шумный.
Бинарность оказалься атрибут,
Матрица унарный отношений;
Относительность оказалься капут,
Клянусь мамой без прощений.
Интуционизм оказалься убогий,
Функцианальний анализ оказалься упор;
Мягкий знак оказалься строгий,
Потому мой панос оказалься запор.
Мой галава работаль как атом,
Работаль как шумний матор;
Крыль всех армянским матом,
В мислях паднимая тапор.
Ара, какой там аспект,
Какой дурацкий аксиоматика;
Луче я писал бы конспект,
Что такой кавказский математика.
Множества есть мои горы,
Арефлективность есть мой баран;
Подмножеств замкнутых взоры,
Косвенных свидетелств таран.
Болше я бокс не люблю,
Пуст мой нейрон одыхает;
Мой картотек всем вам уступлю,
И пусть всё у вас высыхает!

Алексей почти всё правильно ответил, за одним исключением.

"А вот для массивов LxMxN ничего похожего нет :-) если увеличивается размерность пространства, то, собственно, увеличивается только размер матрицы, дополнительных измерений не возникает.. "

В математических моделях физики и других наук возникают, если говорить программистским языком, многомерные массивы и с тремя, и с большим числом измерений. И правила оперирования такими объектами тоже весьма изящны и стройны. Как пример таких объектов можно назвать тензоры ранга 3 и выше. Есть и более хитрые объекты, типа символов Кристоффеля в римановой геометрии или, например, вектора, элементами которого являются не числа, а матрицы. Тут дополнительные индексы связаны не с увеличением размерности пространства, а с увеличением числа самих пространств.

А вообще, в Википедию загляните - там много интересного про матрицы написано (и о нужде в том числе) . И станет понятным, что большинство высказанных Вами предположений ошибочно. Одномерный массив - тоже матрица; нет в матрице никакого "равного упорядоченного отношения" - это просто таблица, для которой определён ряд операций.

Матрица и пуансон.
Это элементы инструмента.

Вас вопрос определений интересует? Если нет, то просто посмотрите на действия с матрицами. Матрица -- NxM элементов. То что вы называете одномерной (если я правильно понял) -- это 1хM элементов, по сути такая же двухмерная, те же действия применимы (но её называют вектором) . А вот с набором LxNxM действия вроде умножения не определены, делайте выводы. Инструменты в математике определяются, прежде всего, возможностью выполнять свои функции. Если вы берёте массив, пытаетесь выполнить над ним операции матриц, и у вас не получается, значит исходное -- не матрица. Где-то так.
Можете придумать своё расширение для таких матриц, никто не запрещает создавать новые разделы математики, и если он окажется удобным и нужным -- и другие начнут пользоваться :-)

>>Можно ли сказать что матрица это набор элементов одного типа?
-- опять же, на практике -- пофиг, только если грамотно элементы расставить, чтобы в определённых случаях не перемножались элементы разных типов. Скажем, если вы умножаете матрицу на матрицу, то, в сущности, вы умножаете каждый элемент на каждый. Там где всплывает умножение 2 на "фыва" -- выплюнет ошибку, если такая операция недопустима для данного языка. Если допустима, например, в каких-то языках может выдать "фывафыва" -- то используйте, если именно так вам нужно. То же и для таблицы умножения -- можете считать её чем угодно, но если берётесь использовать математический инструментарий, всё что требуется -- это чтобы инструменты были применимы, чтобы в конечном итоге не было ошибок.

>>Почему вообще двумерному массиву нужно было давать отдельное название, в этом была какая то нужда?
-- Наличие широчайшего спектра задач математики, которые удобно решать с помощью матриц и векторов. В сущности их ввели для того, чтобы значительно сокращать объём писанины и, собственно, лучше ориентироваться в написанном. Если, скажем. есть запись [a]*{x}={b}, то сразу ясно, что это система линейных уравнений, и её решение -- {x}=[a]^-1*{b}. Прикиньте теперь, каково было бы оперировать системой уравнений, если, скажем, размерность [a] -- 1000x1000? Совсем другое дело -- задать матрицу [a], вектора {x} и {b} и работать по простеньким алгоритмам. Их тут всего 2 -- алгоритм перемножение и алгоритм поиска обратной матрицы, и всё, количество уравнений уже не имеет значения, только для производительности. .
А это, вобщем, типичная задача для всех численных методов, подразумевающих разбиение на элементы. Это, собственно, все прикладные задачи, где используется гипотеза сплошности (расчёт жидкостей, газов, твёрдых тел, электростатических и магнитных полей, распределения тепла, звука и прочее и прочее) , плюс все сетевые задачи (электрические цепи, трубопроводы, вентиляция, просто задачи из теории графов) , и ещё куча всего.
А вот для массивов LxMxN ничего похожего нет :-) если увеличивается размерность пространства, то, собственно, увеличивается только размер матрицы, дополнительных измерений не возникает. .

Зы. Это всё сказано, конечно, с позиций программиста, использующего методы математики. Математик за "фыву" в матрице может и в морду дать :-)