Есть у меня абстрактное линейное пространство. В нем задан стандартный базис. В этом базисе задано скалярное произведение матрицей Грама. Норма вектора как обычно задана через скалярное произведение:
(a, a) = |a|²
Угол между векторами задан через скалярное произведение:
(a, b) = |a| |b| cos(ф)
И как мне для этого пространства в заданном базисе найти матрицы поворотов на произвольные углы отн-но произвольных осей? Я попробовал написать соотношения для матриц поворота R на угол ф отн-но оси вдоль произвольного вектора z:
(R x, R x) = (x, x)
(R z, z) = (z, z)
(R x, x) = cos(ф) (x, x), при (x, z) = 0
но че-то тут треш какой-то получается. Может, надо это провернуть через групповые свойства вращения (правдами-неправдами получить генератор, а потом уже восстановить оператор поворота через уравнение Ли)?...
В общем, вопрос: как это все проделать, или что на эту тему почитать?
Естественные науки
Как найти матрицы поворота?
Евгений Кувшинов
83 768
Нууууу ващеее загнуууул... прям "забатанировал" :-)))))))))))))))))))))))))))))))
Вики всё есть. Это тебе надо в высшие "школы" с таким вопросом, в надежде получить хоть немного вразумительного ответа.
Вики всё есть. Это тебе надо в высшие "школы" с таким вопросом, в надежде получить хоть немного вразумительного ответа.
вам надо найти связь между направляющими косинусами в исходной системе координат и в повернутой. Правильно ли я поняла ваш вопрос?
эта связь, конечно, известна и есть в учебниках.
вот это я нашла в интернете...(в принципе понятно)
там с - cos и s -sin
эта связь, конечно, известна и есть в учебниках.
вот это я нашла в интернете...(в принципе понятно)
там с - cos и s -sin
Денис Низамутдинов
53 889
Евгений Кувшинов
Нет, не совсем. У меня пространство неевклидово. А потому все будет интереснее. К тому же, тут опять-таки берутся готовые матрицы поворота во круг каждой из осей. Мне нужно это сделать, не используя готовые матрицы поворота, и без перехода в базис с евклидовой метрикой. Чисто алгебраически, без обращения к геометрической интуиции.
не надо было терять!
Amer Saab
53 606
Евгений Кувшинов
Да поворачивались, и закатились куда-то.. ищу теперь.
Здесь на умные вопросы не отвечают. Ищи другое место)
Сергей Щурков
39 431
Евгений Кувшинов
Та не, иногда бывает)
Только без формул, они не формтаируются:
Каждый базисный вектор новой системы координат надо разложить по векторам старого базиса:
Найдём коэффициенты! Умножим скалярно каждое разложение на соответствующий новый вектор, (который слева), используя свойство дистрибутивности скалярного произведения:
Так как векторы единичные, то скалярные произведения слева будут равны единице
Преобразуем правые части:
Очевидно, равенство будет выполнено, если a_11=cosφ=i ⃗,i ⃗'; a_21=sinφ=j ⃗,i ⃗'; a_12=-sinφ=i ⃗, j ⃗'; a_22=cosφ=j ⃗,j ⃗'.
Составим матрицу коэффициентов, учитывая, что каждый вектор в матрице записан в столбец:
Такую матрицу, по которой старый базис переходит в новый, называют матрицей прямого перехода и обозначают буквой S.
Мы нашли, что матрица S прямого перехода состоит из следующих элементов
Чтобы вернуться от нового базиса к старому, надо решить матричное уравнение . Решив его, находим формулу обратного перехода с матрицей T=S^(-1)
Объекты, которые при переходе к другой системе координат подчиняются тем же формулам, что и базисные векторы, называют ковариантными, т.е. дословно «по базису».
Возьмём вектор, имеющий разложение в старом базисе
Какими станут его координаты, если мы перейдём к новому базису? Давайте заменим базисные векторы по формуле, используя свойство дистрибутивности, получим:
Выходит, чтобы получить координаты вектора в новой системе координат, его надо умножить на матрицу обратного перехода! Решив матричное уравнение, находим, формулу с матрицей S=T^(-1). То есть для вектора переходы в другую систему координат идут по противоположным законам, чем для базисных векторов. Поэтому векторы и другие объекты, ведущие себя так при переходах, называют контравариантными, т.е. дословно «противоположно базису».
В о п р о с. А как повернуть вектор в существующей системе координат?
О т в е т. Пользуясь теми же формулами, но оставаясь в той же системе координат. Полученные после преобразования координаты будут координатами повернутого вектора. Матрицу перехода в таком случае называют матрицей поворота.
Каждый базисный вектор новой системы координат надо разложить по векторам старого базиса:
Найдём коэффициенты! Умножим скалярно каждое разложение на соответствующий новый вектор, (который слева), используя свойство дистрибутивности скалярного произведения:
Так как векторы единичные, то скалярные произведения слева будут равны единице
Преобразуем правые части:
Очевидно, равенство будет выполнено, если a_11=cosφ=i ⃗,i ⃗'; a_21=sinφ=j ⃗,i ⃗'; a_12=-sinφ=i ⃗, j ⃗'; a_22=cosφ=j ⃗,j ⃗'.
Составим матрицу коэффициентов, учитывая, что каждый вектор в матрице записан в столбец:
Такую матрицу, по которой старый базис переходит в новый, называют матрицей прямого перехода и обозначают буквой S.
Мы нашли, что матрица S прямого перехода состоит из следующих элементов
Чтобы вернуться от нового базиса к старому, надо решить матричное уравнение . Решив его, находим формулу обратного перехода с матрицей T=S^(-1)
Объекты, которые при переходе к другой системе координат подчиняются тем же формулам, что и базисные векторы, называют ковариантными, т.е. дословно «по базису».
Возьмём вектор, имеющий разложение в старом базисе
Какими станут его координаты, если мы перейдём к новому базису? Давайте заменим базисные векторы по формуле, используя свойство дистрибутивности, получим:
Выходит, чтобы получить координаты вектора в новой системе координат, его надо умножить на матрицу обратного перехода! Решив матричное уравнение, находим, формулу с матрицей S=T^(-1). То есть для вектора переходы в другую систему координат идут по противоположным законам, чем для базисных векторов. Поэтому векторы и другие объекты, ведущие себя так при переходах, называют контравариантными, т.е. дословно «противоположно базису».
В о п р о с. А как повернуть вектор в существующей системе координат?
О т в е т. Пользуясь теми же формулами, но оставаясь в той же системе координат. Полученные после преобразования координаты будут координатами повернутого вектора. Матрицу перехода в таком случае называют матрицей поворота.
Евгений Кувшинов
У меня нет никакого "старого" базиса, пространство не двумерное, а N-мерное)
Да и вы тут, если убрать воду, исходите из того, что в каком-то базисе матрицы поворота известны. У меня они не известны ни в каком базисе.
Да и вы тут, если убрать воду, исходите из того, что в каком-то базисе матрицы поворота известны. У меня они не известны ни в каком базисе.
Урал Фатхутдинов
старый базис это до поворота, после поворота это новый базис, т.к. ты поворачиваешь вокруг оси, один базисный вектор будет общим, в любом случае сначала надо записать символически разложение каждого вектора нового базиса по старому, коэффициенты разложения будут матрицей, матрица для каждого пространства имеет установленный вид. затем делаешь то как описано.
Похожие вопросы
- Найти определитель матрицы если...
- Помогите найти определитель матрицы 4x4
- Линейный блочный код, коды Хеминга, Порождающая матрица и Проверочная матрица.
- Геометрический смысл работы с матрицами и применение аксиом линейной алгебры на практике
- Матрицы
- Вопрос по матрице.
- Как коммутируют повороты?
- Если Вселенная это "Матрица", а все люди в ней NPС, то ка распознать пользователя?
- Что такое матрицы и кватернионы?
- Вопрос, матрицы, математика
Так что, как с нуля получить матрицы поворота в неевклидовом пространстве?
Вы же пытались дать мне понять сейчас, что это все просто донельзя, и написано на каждом заборе. По теме-то скажете что-нибудь, или на неудачных попытках вылечить уязвленное самолюбие все и закончится?)