Естественные науки
Как коммутируют повороты?
Если х - поворот относительно оси ОХ, а у - поворот относительно оси ОУ, обязательно ли хух^(-1)у^(-1) - поворот относительно оси ОZ?
Елена Горбенко
33 030
Вложим R^3 (как множество) и группу вращений SO(3) в тело кватернионов следующим образом.
Вектору x = (x1, x2, x3)^T сопоставим кватернион q(x) = i*x1 + j*x2 + k*x3
Кватерниону будем соспоставлять тот вектор, которой задает его мнимая часть.
Вращению f на угол 2a (против часовой) вокруг единичного вектора v сопоставим кватернион q(f) = cos(a) + sin(a)*q(v) (с т. до умножения кватерниона на действительную константу).
В таком представлении кватернионы вращают пространство сопряжениями:
Кватернион q(f)*q(x)*q^-1(f) - соответствует вращению f вектора x.
Обращению вращения соответствует изменение знака действительной части кватерниона вращение ну или (что удобнее) его сопряжение - на -1-то мы имеем право домножить, см. выше.
И вот мы облегчили задачу - вместо вычисления теоретико-группового коммутатора матриц поворота достаточно взять коммутатор кватернионов.
Чтоб определить углы, на которые можно вращать вокруг Ox и Oy, чтоб коммутатор вращал относительно Oz:
(упрощая - беру те, у которых определен ctg(x/2)),
Достаточно в действительных z, x, y решить уравнение
Im (x - i - k)(y - j - k)(x + i + k)(y + j + k) = zk
Дальще - просто аккуратно раскрыть скобки с учетом того, что произведение двух мнимых единиц = третья*(четность перестановки их трех)
Ну и квадрат каждой равен -1.
Мог в арифметике наврать, но принципиально, вроде, ни в чем не наврал.
Вектору x = (x1, x2, x3)^T сопоставим кватернион q(x) = i*x1 + j*x2 + k*x3
Кватерниону будем соспоставлять тот вектор, которой задает его мнимая часть.
Вращению f на угол 2a (против часовой) вокруг единичного вектора v сопоставим кватернион q(f) = cos(a) + sin(a)*q(v) (с т. до умножения кватерниона на действительную константу).
В таком представлении кватернионы вращают пространство сопряжениями:
Кватернион q(f)*q(x)*q^-1(f) - соответствует вращению f вектора x.
Обращению вращения соответствует изменение знака действительной части кватерниона вращение ну или (что удобнее) его сопряжение - на -1-то мы имеем право домножить, см. выше.
И вот мы облегчили задачу - вместо вычисления теоретико-группового коммутатора матриц поворота достаточно взять коммутатор кватернионов.
Чтоб определить углы, на которые можно вращать вокруг Ox и Oy, чтоб коммутатор вращал относительно Oz:
(упрощая - беру те, у которых определен ctg(x/2)),
Достаточно в действительных z, x, y решить уравнение
Im (x - i - k)(y - j - k)(x + i + k)(y + j + k) = zk
Дальще - просто аккуратно раскрыть скобки с учетом того, что произведение двух мнимых единиц = третья*(четность перестановки их трех)
Ну и квадрат каждой равен -1.
Мог в арифметике наврать, но принципиально, вроде, ни в чем не наврал.
поворот
Ирина Кольцова
28 427
Простая проверка на 30градусов и на 90 показывает, что нет.
Светлана Трусова
Хм, а почему не просто на 90 и 90?
Елена Горбенко
Спасибо
Вложим R^3 (как множество) и группу вращений SO(3) в тело кватернионов следующим образом.
Вектору x = (x1, x2, x3)^T сопоставим кватернион q(x) = i*x1 + j*x2 + k*x3
Кватерниону будем соспоставлять тот вектор, которой задает его мнимая часть.
Вращению f на угол 2a (против часовой) вокруг единичного вектора v сопоставим кватернион q(f) = cos(a) + sin(a)*q(v) (с т. до умножения кватерниона на действительную константу).
В таком представлении кватернионы вращают пространство сопряжениями:
Кватернион q(f)*q(x)*q^-1(f) - соответствует вращению f вектора x.
Обращению вращения соответствует изменение знака действительной части кватерниона вращение ну или (что удобнее) его сопряжение - на -1-то мы имеем право домножить, см. выше.
И вот мы облегчили задачу - вместо вычисления теоретико-группового коммутатора матриц поворота достаточно взять коммутатор кватернионов.
Чтоб определить углы, на которые можно вращать вокруг Ox и Oy, чтоб коммутатор вращал относительно Oz:
(упрощая - беру те, у которых определен ctg(x/2)),
Достаточно в действительных z, x, y решить уравнение
Im (x - i - k)(y - j - k)(x + i + k)(y + j + k) = zk
Дальще - просто аккуратно раскрыть скобки с учетом того, что произведение двух мнимых единиц = третья*(четность перестановки их трех)
Ну и квадрат каждой равен -1.
Мог в арифметике наврать, но принципиально, вроде, ни в чем не наврал.
Вектору x = (x1, x2, x3)^T сопоставим кватернион q(x) = i*x1 + j*x2 + k*x3
Кватерниону будем соспоставлять тот вектор, которой задает его мнимая часть.
Вращению f на угол 2a (против часовой) вокруг единичного вектора v сопоставим кватернион q(f) = cos(a) + sin(a)*q(v) (с т. до умножения кватерниона на действительную константу).
В таком представлении кватернионы вращают пространство сопряжениями:
Кватернион q(f)*q(x)*q^-1(f) - соответствует вращению f вектора x.
Обращению вращения соответствует изменение знака действительной части кватерниона вращение ну или (что удобнее) его сопряжение - на -1-то мы имеем право домножить, см. выше.
И вот мы облегчили задачу - вместо вычисления теоретико-группового коммутатора матриц поворота достаточно взять коммутатор кватернионов.
Чтоб определить углы, на которые можно вращать вокруг Ox и Oy, чтоб коммутатор вращал относительно Oz:
(упрощая - беру те, у которых определен ctg(x/2)),
Достаточно в действительных z, x, y решить уравнение
Im (x - i - k)(y - j - k)(x + i + k)(y + j + k) = zk
Дальще - просто аккуратно раскрыть скобки с учетом того, что произведение двух мнимых единиц = третья*(четность перестановки их трех)
Ну и квадрат каждой равен -1.
Мог в арифметике наврать, но принципиально, вроде, ни в чем не наврал.
Похожие вопросы
- Вопрос электрикам. Переключатели мощности, коммутируемая мощность.
- Как найти матрицы поворота?
- По поводу высоты океанской волны в случае резкого поворота Земли на 90 градусов.
- Куда идёт энергия, затрачиваемая на поворот оси вращающегося маховика ?
- Подскажите пожалуйста, почему велосипедист на повороте делает наклон в сторону поворота? Ответ с точки зрения физики.
- Куда девается энергия при повороте "несвободного" гироскопа?
- Какой автомобиль занесет сильнее при повороте?
- Жара. Может это поворот оси Земли?
- ВОПРОС НА ЗАСЫПКУ: Какой дебил придумал поворот рек вспять да ещё при помощи ядерных врывов? ? :)))
- Мы живём в голограмме! Как вам такой поворот событий?
Im (x - i)(y - j)(x + i)(y + j) = zk
Ну, давайте при i коэффициент найдем и обгнулим
xyy + x*(-j)*j = xyy + x = 0
Уже задница - у нас x и y действительные.
При вращении на углы, у которых ctg половинного определен и не ноль, коммутатор никак не будет вокруг z вращать.
Вроде, так.
Как-то так, надо проверять.
Но это чисто ради спортивного интереса я сдалал - полпытался найти углы для вращений вокруг Ox и Oy, при которых теоретико-групповой коммутатор вращает вокруг Oz.
Я на мобильнике, ребенка искупаю, попробую с этого места расписать так, чтоб ошибок поменьше было. У меня рука не набита умножать кватернионы (из тела, а не группы единичных) в уме, хотя там все по дистрибутивности/линейности раскрывается.