Вопрос, матрицы, математика

Матрицы пошли от преобразований координат пространства. А если еще точнее, то они появились при изучении деформаций в кристаллах. Вы делаете какую-то деформацию в кристалле так, что одна точка остается всегда неподвижной (это начало системы отсчета) и вам нужно определить новые координаты атомов (узлов кристаллической решетки). Например, такие задачи пошли при рассмотрении распространения звуковых волн в кристаллической решетке. Там одновременно идет три волны, две продольные и одна поперечная. Но при этом свойства кристалла анизотропные, то есть зависят от направления. Поэтому волны бегут совсем не в ту сторону, куда вы их послали (и даже направления у всех трех волн становятся разными), и колебания этих волн происходят совсем не в тех плоскостях, в которых вы их первоначально задали. При решении задач на определение направления движения волн и направления их поляризаций возникли системы линейных уравнений, которые привели к матрицам.

А уже потом матрицы стали применять в качестве любого линейного преобразования пространства любой размерности, ибо это удобно.

В любом учебнике математики по матрицам доказываются все математические действия с матрицами. Например, как доказать формулу умножения двух матриц. Очень просто. Возьмите сначала одно линейное преобразование пространства. Выразите новые координаты (вторые) через старые (первые). Затем возьмите еще одно линейное преобразование пространства и выразите снова новые (третьи) координаты через старые (вторые). Потом подставьте выражение вторых координат через первые в формулу, которая выражает третьи координаты через вторые. И вы получите формулу, которая сразу выражает окончательные третьи координаты через первоначальные первые координаты. И вы сразу же увидите, что линейные коэффициенты этой формулы, как раз и есть компоненты матрицы произведения двух матриц, которые соответствуют этим двум преобразованиям пространства.
Если то трудно проверить для размерности N, то проверьте это сначала для размерности 1, а потом для размерности 2.

Ну, то есть всё математически доказывается.

Вы не над тем голову ломаете. Надо ехать дальше, а не топтаться на месте. Очень похоже, что вы не понимаете, что значит "понимать".
Лучше продолжите и попробуйте понять, что любое преобразование векторов в конечномерном пространстве можно описать действием над матрицами. Это уже доказывается и это уже полезнее. А там и до собственных чисел и веторов, матричных уравнений, симметрических форм, обнуляющих многочленов дело дойдёт...

Всякая n-мерная ассоциативная алгебра с единицей над полем K изоморфна подалгебре алгебры матриц n x n с коэффициентами из K.
Круто? Значит, матрицы - удобный инструмент.

См. "вложение конечномерной ассоциативной алгебры в алгебру матриц".
А ассоциативная алгебра удобнее всяких групп/полугрупп - там по базису элементы удобно раскладывать, значит, и задавать элемент набором чисел, удобным для вычислений.

Чтобы придумать матрицы в современном виде, нужно:

1) Хорошо знать общую алгебру
2) Задаться вопросом: а есть ли что-то "достаточно универсальное", во что можно вложить многие алгебраические структуры и что удобно для вычислений.

И не факт, что даже изучение истории линейной алгебры тебе сильно поможет понять, как их "придумать".

Всё гораздо проще, чем ты думаешь.
Выбери таблетку:
1) Красная
2) Синяя