Есть ли какая-то пара чисел ( или не одна) , чтобы соответствовала формуле: АВ *2 = ВА . ?

При основании 10 – нет решений

2*a*X+2*b =b*X+a;

При основании X=11, например : a = 3*N1, b = 7*N1

При основании X=3 : a = N1, b = 5*N1 и т. д. :)

N1 - натуральные

(A*10+B)*2=B*10+A
A=8n
B=19n

То есть таких ЦИФР нет.

Или АВ+АВ=ВА. Учитывая десятичную систему 20*А+2*В = 10*В+А или
19*А = 8*В

А такое уравнение не имеет решений в целых числах до 10.

2(10А + В) = 10В + А
19А = 8В
Очевидно, что таких А и В (от 0 до 9) не может быть.

Двухзначное в двоичном коде 00 либо А либо В. Значит 4 варианта по А и 3 по В. 00-00 будет 4 вариантом в А и учтён для В. В гексакоде будет больше. Есть ещё 60 разрядная старинная система исчисления средневековой Европы. Есть старинные 5 разрядные и т. д. В вопросе нет уточнений и ответ такой.

20А+2В = 10В+А, гда А и В - цифры от 0 до 9 - это просто переписали уравнение с учетом разрядности
И того, выходит, что 19А = 8В

числа 19 и 8 взаимно простые, значит, В кратно 19, что уже не попадает под цифру от 0 до 9...

Получается, нет таких...

Есть только одна такая пара, но это тривиальное решение: А=В=0.
Причину отлично объяснили выше сразу несколько человек :)