√1 + √2 + · · · + √50

взять первообразную, посчитать определённый интеграл:

первообразная от √j будет 2/3 * √j^3, соотв. ответ где-то в районе 2/3 * sqrt(50*50*50) = 2*50/3 * sqrt(50) ≅ 100/3 * 7 ≅ 233.

Есть такой прикол.
В логарифмических координатах (логарифм как от номера члена ряда, так и значения) получается ПРЯМАЯ.
Сумма в вашем примере получается 10^(log50*log√50*√e)

Как бы не совсем в уме считается. Возможно, что есть уникумы, которым и такое подвластно.

Проще всего открыть на своем компьютере калькулятор и посчитать точно.

Может существует и более эффективный метод, но я нашёл такой, довольно грубый.
Заменить указанную сумму интегралом от 0,5 до 50,5 (т. е. в средних точках начального - от 0 до 1 и конечного - от 50 до 51 промежутков ). Подынтегральная функция - корень из икс. Её первообразная, как известно, равна икс в степени полтора разделить на полтора. Ну а дальше по формуле Ньютона-Лейбница вычислить интеграл. Предполагается, что известен приближённый способ вычисления корня квадратного из числа (нужно 2 раза найти корень из куба числа и вычесть одно из другого) . Значение интеграла, вычисленное на калькуляторе даёт примерно 239,0139, непосредственная сумма корней от 1 до 50 примерно равна 239,0538. Ошибка во втором знаке после запятой. Относительная ошибка не превышает 0,02%.

Примерно 239

примерно полтора на 50 на корень из 50, у меня порядка 530 получается.
Простой метод - приблизить непрерывной ф-цией и в уме проинтегрировать. Правда, это кому как.

Где-то я явно наврал. 50*7 = 350, а 7 - это грубо корень из 50. Сейчас проверю

PS. 239.036

PPS. Наврал здесь: не полтора на 50 на корень из 50, а 2/3 на 50 на корень из 50. Это примерно 33 (с копейками) * 7 (с копейками) , т. е. примерно 231 с копейками получается, если в уме примерно считать.